on trouvera le logarithme de x par les calculs exprimés ci-dessus, et l'on n'aura plus qu'à chercher le nombre x correspondant dans la table, que l'on suppose construite d'après une base plus grande que 1.

m

Mais, si le nombre b. b'. c, d, dividende du quotient

m

b. b'. cn. dr

1

k. la. rt. ገ

est plus petit que le diviseur k. l. ri. už, et si, par suite, le logarithme du premier, ou la somme

est plus petit que le logarithme du second, ou la

est impossible à effectuer.

On savait, du reste, que l'on devait tomber sur une impossibilité, si l'on se sert, dans ce cas, d'une table construite d'après une base plus grande que 1, puisque le quotient

plus petit que 1, n'a pas de logarithme dans un pareil système. Cependant, pour arriver au résultat au moyen de cette table, il suffira de calculer le nombre

x

dont on trouvera le logarithme. Connaissant, il est facile d'avoir x.

Le calcul se fait d'ailleurs plus aisément encore si la table de logarithmes est construite d'après la base du système de numération adopté, c'est-à-dire d'après la base dix. Au point de vue pratique, c'est la seule hypothèse à développer complètement, et c'est ce que nous allons entreprendre.

CONSTRUCTION ET USAGE D'UNE TABLE DE LOGA

RITHMES D'APRÈS LE SYSTÈME A BASE DIX.

199. JEROME DE LA LANDE a construit une table de logarithmes d'après le système à base dix; il donne, dans cette table, les logarithmes de tous les nombres entiers depuis 1 jusqu'à 10000. La construction résulte de la résolution des équations

Cependant, en vertu du théorème II du n° 198, il suffira de calculer les logarithmes des nombres premiers compris entre 1 et 10000, et, par conséquent,

Le théorème III du n° 198 dispense de calculer les logarithmes des nombres fractionnaires.

Il y a lieu de se demander si certains nombres possèdent, dans ce système, des logarithmes commensurables. On sait (no 193) que l'exposant x ou le logarithme de y, dans l'équation

n'est commensurable que si 10 et y sont composés des mêmes facteurs premiers et si les exposants de ces facteurs dans y, divisés par les exposants des facteurs correspondants de 10, donnent un même quotient, qui est précisément l'exposant commensurable cherché. Or, puisque 10 2.5, les seuls nombres entiers qui aient des logarithmes commensurables dans le système à base dix sont 21.51, 22.53, 23.53, 24.5', ..., c'est-à-dire les puissances successives de 10: 10, 10 ou 100, 103 ou 1000, 10 ou 10000,... Les logarithmes de ces puissances, donnés par équations

les

1, leg 10 100 2, log 10 1000 3, log 10 10000 = 4, .... (1)

=

(1) Dorénavant, nous supprimerons l'indice 10 du mot log. lorsqu'il s'agira des logarithmes pris dans le système à base dix.

Tous les nombres, autres que les puissances de 10, auront, dans le système à base dix, des logarithmes incommensurables, que l'on sait calculer avec telle approximation qu'on le voudra. (La table de DE LA LANDE donne ces logarithmes à moins de 0,0000001 près.) Toutefois, puisqu'on ne calcule que les logarithmes des nombres premiers, il faut pouvoir déterminer avec quelle approximation on doit calculer les logarithmes des nombres premiers, pour que les logarithmes de leurs multiples soient obtenus avec une approximation donnée, par exemple à moins de 0,0000001 près. Supposons que l'on veuille calculer les logarithmes de tous les nombres entiers depuis 1 jusqu'à 10 ou 10000. Puisque

2131012,

tout nombre entier ne surpassant pas 10' renfermera au plus treize facteurs, et, par suite, son logarithme, somme des logarithmes de ses facteurs, sera déterminé à moins de 0,0000001 près, si celui de chacun de ses facteurs premiers est déterminé à moins de

à moins de 0,0000000001 près, on sera certain d'obtenir, par addition, les logarithmes des nombres demandés à moins de 0,0000001 près, en négligeant

les subdivisions décimales du huitième, du neuvième et du dixième ordre.

200. Disposition et usage des tables de logarithmes de DE LA LANDE et de CALLET. — Nous ferons connaître la disposition et l'usage de la table de DE LA LANDE, suffisante pour la plupart des applications usuelles. On trouvera dans les traités d'algèbre la disposition et l'usage des tables de CALLET.

Dans la table de DE LA LANDE, qui, comme nous l'avons dit, contient les logarithmes des nombres entiers, depuis 1 jusqu'à 10 ou 10000, chaque colonne intitulée nombres (Nomb.) est suivie de deux autres marquées logarithmes (Logarit.) et différence (Diff.); ces colonnes contiennent les données indiquées par leurs titres. L'expression de la différence entre les logarithmes de deux nombres consécutifs inscrite dans la table désigne des dix-millionièmes d'unité; par exemple, la différence

on trouve inscrite dans la colonne Diff., en regard de 1368 et de 1369, l'expression 3173 de ce nombre de dix-millionièmes.

Les différences entre les logarithmes des nombres entiers plus petits que 1000 ne sont pas données dans la table, parce qu'on peut se dispenser d'en faire usage.

Pour être en état d'opérer au moyen de cette table, il suffit de pouvoir résoudre les deux pro

blèmes suivants :