si le nombre des termes est pair.

Si le nombre des termes est impair, on a

Ainsi, le produit des termes d'une progression par multiplication est égal à la racine carrée du produit des deux extrêmes élevé à une puissance dont l'exposant est égal au nombre des termes de la progression. EXEMPLE. Le produit des termes de la progression par multiplication

187. Somme des termes d'une progression par multiplication. - Cherchons la somme des termes de la

Ainsi, la somme des termes d'une progression par multiplication est égale au produit du dernier terme par la raison, diminué du premier terme, et divisé l'excès de la raison sur l'unité.

par

§ III.

RÉSULTATS DE LA COMPARAISON DE CERTAINS

NOMBRES EN PROGRESSION PAR ADDITION AVEC D'AUTRES

NOMBRES EN PROGRESSION PAR MULTIPLICATION.

THEORIE DES LOGARITHMES.

188. Parmi les nombres d'unités en progression par addition qui sont en relation avec d'autres nombres en progression par multiplication, il y a lieu de distinguer les exposants des puissances d'un

nombre et ces puissances elles-mêmes. On remarque que, si les exposants des puissances d'un nombre constant a sont en progression par addition, les puissances elles-mêmes sont en progression par multiplication. Par exemple, si dans l'égalité a*= y, a désignant un nombre constant plus grand que 1, on suppose successivement les exposants x égaux à 1, 2, 3, 4, 5, 6, ....,

nombres en progression par addition dont la raison est 1, on trouve pour les puissances

y = a, a3, a3, a1, a3, a®, ..........,

nombres en progression par multiplication dont la raison est a.

On conçoit maintenant que, si l'on inscrit dans une table les exposants 1, 2, 3, 4, et, en regard, les nombres a, a2, a3, a*, il suffit, pour connaître le produit du nombre a2 par le nombre a1, de chercher la somme 6 des exposants 2 et 4; le nombre ao, correspondant dans la table, sera le produit demandé.

Inversement, on peut supposer que y désigne successivement tous les nombres entiers ou fractionnaires, calculer, exactement ou approximativement, les exposants de a qui leur correspondent et les inscrire dans une table en regard de ces nombres. C'est le système que l'on a adopté et que nous allons développer.

189. Démontrons d'abord que : Les nombres désignés par a*, x exprimant un nombre entier ou frac

tionnaire ('), sont tous les nombres entiers ou fractionnaires plus grands que l'unité, lorsque le nombre a est plus grand que 1.

Le théorème sera établi si je prouve que le nombre désigné par a varie d'une manière continue, lorsque x varie d'une manière continue; qu'il s'approche indéfiniment de l'unité, lorsque x décroît indéfiniment; et qu'il acquiert toutes les valeurs plus grandes que a, lorsque x croît indéfiniment à partir de l'unité.

Faisons voir que, si l'exposant x croît ou décroît d'une manière continue depuis une valeur b jusqu'à une valeur b', le nombre désigné par a croît ou décroît d'une manière continue depuis la valeur að jusqu'à la valeur a"; en d'autres termes, que, si l'exposant a reçoit des accroissements ou des décroissements aussi petits qu'on le veut, le nombre désigné par a reçoit également des accroissements ou des décroissements aussi petits qu'on le veut. Supposons x = b; je dis que l'on peut augmenter ou diminuer b d'une quantité assez petite pour que la différence

soit aussi petite qu'on le voudra. Puisque a' est un nombre constant indépendant de 1, il nous suffira de prouver que, sous une valeur suffisamment grande de n, an - 1 peut être rendu plus petit que

m

(1) On sait que an désigne la racine nieme de la mième puissance de a (n 93).

tout nombre donné, ou que l'on peut déterminer un nombre n suffisamment grand pour que

1

a" soit 1+s, (1)

quel que petit que soit e, ou encore pour que a soit (1+)n. (2)

(Il est à remarquer que, quel que soit 1, le

1

nombre a est toujours > 1, si a > 1: cela résulte an de la notion même de racine.) Or, les puissances successives de 1+, toutes plus grandes que 1, peuvent surpasser toute limite. On peut donc toujours assigner un nombre n tel que l'inégalité (2) et, par suite, son équivalente (1) se réalisent. Donc le nombre désigné par a varie d'une manière continue avec x.

Il s'approche indéfiniment de l'unité lorsque x décroît indéfiniment; en d'autres termes, la racine d'un nombre a plus grand que 1 s'approche de l'unité autant qu'on le veut, lorsque le degré de cette racine est suffisamment grand. Cela résulte encore de ce que l'on peut assigner un nombre n tel que

an soit 1+ε ou que a soit < (1 + ε)",

quelque petit que soit ɛ.

Enfin, le nombre désigné par a acquiert évidemment toutes les valeurs plus grandes que a, lorsque x croît indéfiniment à partir de l'unité.

Donc le théorème est démontré.

190. On conclut du théorème précédent que :