En général, si l'on donne m équations entre (mp) inconnus, on pourra donner des valeurs arbitraires à p de ces inconnus et l'on obtiendra les m valeurs correspondantes des autres par le système proposé. Le système est donc indéterminé. 159. On conçoit que ces remarques sur les systèmes d'équations impossibles et indéterminés s'appliquent à un système d'équations de degré quel conque. Les solutions des systèmes d'équations indéterminés peuvent toutefois devoir satisfaire à d'autres conditions, par exemple à la condition d'être des nombres entiers, ou d'être des nombres entiers et additifs, et, dans ces cas, l'indétermination peut disparaître. Le cas le plus simple est celui dans lequel il s'agirait de résoudre une équation du premier degré à deux inconnus x et y, ax + by = C, les solutions devant être entières et additives. On pourrait s'occuper ensuite de la résolution d'une équation à trois inconnus x, y, z, ax+by+cz=d, ou à un nombre quelconque d'inconnus; puis de la résolution de deux équations à trois inconnus ou à un nombre quelconque d'inconnus, etc. On considérera ensuite des équations indéterminées de degré supérieur. LEGENDRE s'est surtout occupé de ces questions dans sa Théorie des nombres, sous le nom d'analyse indéterminée. Si l'on croit avantageux de développer ces questions, au point de vue de l'étude de la quantité, il sera utile, avant d'aborder l'ouvrage de Legendre, de lire les chapitres qui traitent de ces questions dans les ouvrages d'Algèbre élémentaire, par exemple dans ceux de MM. Falisse ou Lecointe. Comme nous nous proposons surtout d'acquérir la connaissance de la quantité pour l'appliquer aux objets matériels, nous n'avons pas cru nécessaire de nous étendre sur ces problèmes dont les résultats, au moins dans l'état actuel de nos connaissances, ne nous paraissent pas extrêmement féconds. § VIII. REMARQUES SUR LES CAS D'IMPOSSIBILITÉ ET D'INDÉTERMINATION DES SYSTÈMES D'ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ, DANS LESQUELS LE NOMBRE DES INCONNUS EST ÉGAL AU NOMBRE DES ÉQUATIONS. 160. Cas d'impossibilité. Lorsque l'on se propose un problème concernant les quantités d'objets matériels et que les inconnus que l'on combine dans les conditions qui en résultent n'ont pas une existence réelle ou objective, il est évident que l'on doit aboutir à des absurdités et que les équations conditionnelles liant les inconnus aux nombres connus doivent être impossibles à réaliser ou être incompatibles et contradictoires. L'impossibilité d'une seule équation se manifestera toujours par l'impossibilité de trouver un nombre qui rende le premier membre égal au second. Par exemple, l'équation du premier degré à un inconnu ce qui ne sera jamais possible, quel que soit x. L'impossibilité d'un système de deux ou plusieurs équations consiste dans l'incompatibilité ou la contradiction des conditions qu'elles expriment. Par exemple, le système c'est-à-dire que l'on ne trouve pas de nombres qui réalisent le système. Il est, du reste, facile de montrer que les équations (1) et (2) expriment des conditions incompatibles en effet, en multipliant (1) par 7 et (2) par 3, on obtient les deux équations équivalentes à (1) et (2), auxquelles ne peuvent satisfaire aucun nombre x, ni aucun nombre y. On voit par quelles notations 9 illusoires 12, 3 de x et de y le résultat se manifeste. L'impossibilité d'un système quelconque d'équations sera toujours manifestée par des formes de notation illusoires pour les valeurs des inconnus. Ces formes seront généralement dans les équations du premier degré. A B .... 161. Cas d'indétermination. -La solution d'un problème peut aussi être indéterminée, et alors ses équations le seront également, c'est-à-dire qu'elles seront satisfaites par une infinité de nombres. Tel est le système On trouve pour les valeurs de x et de y, les équations (1) et (2) expriment une seule et même condition : en effet, en multipliant (1) par 5 et (2) par 7, on trouve les équations équivalentes aux premières et identiques entre elles qui sont satisfaites par une infinité de nombres x et y. L'indétermination se manifeste généralement par la forme des notations des résultats, car elle 0 résulte d'une équation de la forme 0.x = qui est satisfaite quel que soit le nombre x. 162. Certains problèmes conduisent à des équations qui renferment l'inconnu à sa deuxième puissance, sans renfermer une puissance de degré supérieur. Les formes générales de ces équations sont ax2 = b, ax2 + bx = 0, et ax2 bx + c = = 0, a, b, c, x désignant des nombres additifs ou soustractifs combinés d'après les principes du no 66. 163. Résolution de ax2 = b. évidemment On en conclut La question est donc résolue, puisqu'on sait extraire la racine carrée de nombres entiers, fractionnaires et polynomaux. (Voir le chapitre II, § Ier, § II, et le chapitre IV, § V.) REMARQUE I.—Si le nombre x, qui satisfait à l'équation (1), doit entrer ultérieurement en relation de |