Substituant ces valeurs dans la première équation du système (II), on trouve y = 2. Enfin, substituant x, y, z dans la première équation du système (I), il vient u

1(). La solution est donc

156. Méthode de résolution par coefficients indéterminés. Cette méthode est généralement plus commode quand on a un assez grand nombre d'équations.

Soient néquations du premier degré à n inconnus,

Ajoutons ces équations, membre à membre, après les avoir multipliées respectivement, à l'exception de la première, par des nombres indéterminés 1, 2,..., -1; il vient

1

n

x (a + ad1 + ... + an−1λn−1) + y (b + b1λ, + ... + bn−1^n—1) +≈ (c + c1d1 + ... + en-id-1) + ... = k + k1 dq + ka da +...+kn-1 λn-1; (2)

et cette nouvelle équation peut évidemment rem

(1) Le nombre soustractif 1.

placer l'une des proposées, quels que soient les nombres 1, 2,

Or, nous pouvons déterminer ces nombres, de manière que les coefficients des inconnus y, z, ... soient nuls, c'est-à-dire que les équations

soient réalisées; car il suffira, pour cela, de résoudre (n-1) équations à (n 1) inconnus.

On résoudra donc le système (III).

Si l'on substitue alors dans l'équation (2) les valeurs trouvées pour 21, 22, ..., -1, cette équation ne contiendra plus que le seul inconnu x, car elle se réduira à

x (a + a11 + ... + an-12n−1) = k + k1 λ1 + ... + hn-1 2n−1;

elle, donnera donc x, qui sera

1 1

x étant connu, le système ne contiendra plus que 1) inconnus.

(n

La méthode que nous venons d'indiquer permet, comme on le voit, de résoudre n équations à n inconnus, pourvu que l'on sache résoudre un système contenant un inconnu de moins.

Comme nous savons résoudre un système de deux équations à deux inconnus, nous pouvons, d'après cela, résoudre un système de trois équations à trois

inconnus; partant un système de quatre équations à quatre inconnus, et ainsi de suite.

La méthode des coefficients indéterminés permet, d'ailleurs, d'obtenir chaque inconnu sans calculer aucun des autres. Il suffit, pour cela, de procéder pour chacun comme nous l'avons fait pour x.

EXEMPLE. Appliquons cette méthode à la résolution du système,

On multiplie (2) par λ, (3) par λ, et l'on ajoute les produits à la première; il vient

1

(3+721+522)x+(-4+22, -6λ) y (5—102,-152) 9182, +672. (4)

=

Pour obtenir x, on égale à zéro les coefficients de y et de z; ce qui donne, pour déterminer λ, et 22,

Substituons ces valeurs dans (4); il vient

Pour obtenir y, on détermine 2, et 2, de manière les coefficients de x et de z soient nuls, c'està-dire par

que

3+ 721+ 52, = 0,

Pour obtenir z, on détermine λ, et 2 de manière que les coefficients de x et de y soient nuls, c'est-à

§ VII.

REMARQUES SUR LES SYSTÈMES D'ÉQUATIONS DANS

LESQUELS LE NOMBRE DES INCONNUS N'EST PAS ÉGAL AU NOMBRE DES ÉQUATIONS.

157. Cas où le nombre des équations surpasse celui des inconnus. — Pour fixer les idées, supposons que l'on ait à résoudre un système de trois équations,

2

entre deux inconnus x et y. En résolvant (1) et (2), par exemple, on aura des nombres x = 1 et y qui, seuls, pourront satisfaire aux équations (1) et (2) et, par conséquent, au système (I) dont ces deux équations sont des conditions intégrantes. Donc, pour que le système (I) puisse être réalisé par ces

nombres 1 et 2, il faudra qu'ils réalisent la troisième équation. Si cette condition n'est pas remplie, il n'existe pas de nombres x et y qui satisfassent à la fois aux conditions (1), (2) et (3). Le système (I) est alors impossible (à réaliser). C'est ce qui arrive précisément, car les nombres x = 1 et 2 ne peuvent réaliser l'impossibilité

y

=

En général, si l'on donne (m +p) équations entre m inconnus, ceux-ci devront d'abord réaliser m quelconques de ces équations, et les nombres déterminés par ces m équations seront les seuls possibles; mais, pour qu'ils le soient réellement, il faut qu'ils vérifient les p équations conditionnelles restantes. Sinon le système proposé est impossible, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de nombres qui y satisfassent.

158. Cas où le nombre des inconnus surpasse celui des équations. Soit, par exemple, à résoudre le système de deux équations à quatre inconnus x, y, z, t,

On peut évidemment donner à deux des inconnus, z ett par exemple, des valeurs arbitraires, et le stème fournira des valeurs correspondantes pour Ainsi, si l'on prend arbitrairement z

que le

à-dire p

=

2,

3; si l'on prend z

mettra donc un nombre infini de solu

qui donnent indéterminé.