Or, D=D' est une impossibilité (no 95, 4o), puisque D contient des facteurs qui n'entrent pas dans D' (n° 118, 2°). Il est donc impossible que se transforme en une périodique simple; elle doit se transformer en une périodique mixte 0, mn..p abc.. k abc.. k... Je dis maintenant que le nombre des chiffres de la partie non périodique est égal à x, le plus haut quotient entier, exact ou par excès, des divisions des exposants des facteurs de la base entrant dans le dénominateur D=an' Sp'da'. §. par les exposants des facteurs de la base B an Br da. En effet, si la partie non périodique ne se compo sait que de ou et, en réduisant la fraction à ses moindres termes, son dénominateur renfermerait l'un des facteurs , ou de la base B à une puissance moindre que dans D, puisque x-1 est plus petit que p' n' ou ou ! Il est donc impossible que D=D", comme l'exigerait l'égalité (3) (no 112), et, par suite, il est impossible que le nombre des chiffres de la partie non périodique soit plus petit que le plus haut quotient entier, exact ou par excès, des exposants des facteurs de la base entrant dans le dénominateur, divisés par les exposants des mêmes facteurs dans la base. On démontrerait, de même, que le nombre des chiffres de la partie non périodique ne peut être égal à x + 1 ou plus grand que ce plus haut quotient entier, exact ou par excès. Donc, le nombre de ces chiffres lui est égal. COROLLAIRE. D'après le système décimal, toute fraction ordinaire irréductible, dont le dénominateur contient un des facteurs 2 ou 5, ou tous les deux, ainsi que d'autres facteurs premiers, se transforme en une fraction périodique mixte dont l'expression a autant de chiffres non périodiques qu'il y a d'unités dans le plus haut exposant de 2 ou de 5 entrant dans le dénominateur. § VI. DE QUELQUES PROPRIÉTÉS DES RÉSULTATS DE LA COMPARAISON DES NOMBRES D'UNITÉS. DES ÉQUIDIFFÉRENCES ET DES ÉQUIQUOTIENTS. 120. DÉFINITIONS. En général, on peut déterminer le rapport qui existe entre deux nombres d'unités soit d'après l'addition, soit d'après la multiplication. Dans le premier cas, on détermine de combien d'unités l'un surpasse l'autre, c'est-à-dire la différence des deux nombres; dans le deuxième cas, on détermine combien de fois l'un contient l'autre, c'est-à-dire le quotient des deux nombres. Après avoir comparé quatre nombres, deux à deux, d'après l'addition, on peut comparer les résultats, c'est-à-dire les différences. Ces différences sont égales ou elles ne le sont pas; si elles sont égales, les quatre nombres sont en équidifférence. Par exemple, soient les quatre nombres 12, 5, 24, 17. Puisqu'on a Les nombres 12, 5, 24, 17 sont en équidifférence, et on peut l'énoncer en disant que, du point de vue de l'addition, 12 est à 5 comme 24 est à 17. Le premier et le troisième nombre ou les deux premiers nombres de chacun des rapports se nomment les antécédents de l'équidifférence; le second et le quatrième s'appellent les conséquents. Après avoir comparé quatre nombres, deux à deux, d'après la multiplication, on peut comparer également les quotients résultants. Ces quotients sont égaux ou ne le sont pas; s'ils sont égaux, les quatre nombres sont en équiquotient. Par exemple, soient les quatre nombres 15, 5, 36, 12. Puisqu'on a Les nombres 15, 5, 36, 12 sont en équiquotient, et on peut l'énoncer en disant que, du point de vue de la multiplication, 15 est à 5 comme 36 est à 12. Les dénominations des nombres sont, du reste, les mêmes que dans les équidifférences. Ainsi 15 et 36 sont les antécédents; 5 et 12 sont les conséquents de l'équiquotient. Les équidifférences et les équiquotients jouissent de plusieurs propriétés que nous allons développer. Propriétés des équidifférences. 121. La somme des nombres extrêmes d'une équidifférence est égale à la somme des nombres moyens. Car de . a = b+d=c a+d-bc a + d = b + c. 122. Réciproquement, si quatre nombres a, b, c, d sont tels que la somme des extrêmes a + d est égale à la somme des moyens bc, les quatre nombres sont en équidifférence. on obtient le quatrième, si c'est un extrême, en retranchant de la somme des moyens l'extrême connu, et, si c'est un moyen, en retranchant de la somme des extrêmes le moyen connu. En effet, désignant par x l'extrême inconnu de l'équidifférence il vient a b c — X, 124. REMARQUES. a + d C = x. 1° Deux nombres d'une équi différence peuvent être identiques, comme dans l'équidifférence Lorsque les deux moyens sont identiques, chacun est donc la demi-somme des extrêmes. Une remarque analogue peut se faire si les extrêmes sont identiques; par exemple, dans l'équidifférence 39 27 51 -39. = |