REMARQUE. On conçoit que, pour comparer des fractions qui ont des dénominateurs différents, il suffit de les réduire à un même dénominateur. S VI. DE QUELQUES PROPRIÉTÉS IMPORTANTES DES PUISSANCES DE NOMBRES ENTIERS. 100. THE RÈME. → La puissance meme d'un produit de plusieurs facteurs est le produit des puissances m èmes de ces facteurs. m fois m fois m fois ... am bm cm. 101. THEOREME. Tout nombre entier N admettant ième le facteur premier, n'est point une m puissance parfaite, s'il n'est pas divisible par am. COROLLAIRE. Tout nombre pair qui n'est pas multiple de 4 n'est pas carré parfait. 102. Tout nombre impair qui, diminué d'une unité, n'est pas divisible par 4, n'est pas carré parfait. Car, la racine carrée de N étant impair, peut être représentée par dont le carré est 2n+1, 4n2 + 4n+1 et admet le diviseur 4, après avoir été diminué d'une unité. 103. THEOREME. D'après le système de numération décimale, tout nombre dont le nombre d'unités du premier ordre est 2, 3, 7 ou 8, n'est pas carré parfait. En effet, lorsqu'on multiplie un nombre par luimême, les unités du premier ordre du produit proviennent du produit du nombre des unités du premier ordre du multiplicande par celui des unités du premier ordre du multiplicateur, c'est-à-dire du carré du nombre des unités du premier ordre. Or, les carrés des nombres d'unités du premier ordre sont 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 et aucun ne renferme les nombres d'unités du premier ordre 2, 3, 7 ou 8. 104. THEORÈME. D'après le système de numération décimale, tout nombre dont le nombre des unités du premier ordre est 5 ne sera pas carré parfait si le nombre des dizaines n'est pas 2. Car la racine, par sa forme donne pour carré a.10 + 5, (a.10)+2 (a.10) 55 a 00 a 00 + 25. 105. THEOREME. La différence entre les carrés de deux nombres entiers qui diffèrent d'une unité est égale à l'unité augmentée du double du plus petit de ces nombres. Car (a+1 106. REMARQUE. a2 = a2 + 2a +12 — a2 = 2a + 1. On conçoit que les propriétés des puissances que nous venons d'énoncer peuvent être utiles pour reconnaître la nature d'un nombre. S V. DES QUELQUES PROPRIÉTÉS IMPORTANTES 107. THEOREME. Si, sans altérer le dénominateur d'une fraction, on multiplie ou on divise son numérateur par un certain nombre, la nouvelle fraction sera ce nombre de fois plus grande ou plus petite que la première. Cela résulte de la notion même d'une fraction (voir le no 4). 108. THEOREME. Si, sans altérer le numérateur d'une fraction, on multiplie ou on divise son dénominateur par un certain nombre, la nouvelle fraction sera ce nombre de fois plus petite ou plus grande que la proposée. (Idem.) 109. THEOREME. Des deux théorèmes précédents, il résulte que : Une fraction est équivalente à une autre dont les deux termes sont ceux de la première multipliés ou divisés par un même nombre. 110. THEOREME. En ajoutant ou en retranchant un même nombre aux deux termes d'une fraction, on obtient une fraction plus grande ou plus petite que la proposée. b Soit la fraction proposée; ajoutons aux deux termes le nombre m, ce qui donne la nouvelle fraction a + m Pour comparer celle-ci à a réduisons-les au même dénominateur b (b+m); il vient pour la frac Or, les deux numérateurs ont une partie commune ab, et la partie bm du second numérateur est plus grande que la partie am du premier, puisque l'on a b> a. Donc la seconde fraction est plus grande que la première. On prouverait de même que m a b m b Si l'on avait a > b, c'est-à-dire si b était un nombre fractionnaire, la relation aurait lieu dans l'ordre inverse. 111. THEORÈME. — Si une fraction, dont les deux b' termes sont premiers entre eux, est égale à une autre fraction, les deux termes de celle-ci sont nécessairement des équimultiples des deux termes de la mière. pre |