On prouverait de même que B1m par a et, d'une façon générale, que, si B2p.m1 1 est divisible (2p représentant un nombre pair) est divisible par a, B (2p+2)m 1 l'est aussi; en effet, si, par hypothèse, c'est-à-dire B2p.m B2p.m. B2m B (2p+2 m = aq" + 1, aq" B2m + B2m aq'' B2m + aq' + 1 B (2p+2)m 1 = a (q′′ B2m + q′)= aq′′" (4); que Bm-1 est divisible par a, l'exposant de B étant un nombre pair quelconque. m On prouverait de même que B + 1 est divisible par a, et d'une façon générale que, si B (2p+1)m + 1 (2p+1 représentant un nombre impair quelconque) est divisible par a, B (2p+3)m + 1 l'est aussi, et, par conséquent, que B + 1 est divisible par a, l'exposant de B étant un nombre impair quelconque. sont des multiples de a, et la première partie de N, savoir ....c(Bm-1)+....d (B2m-1)+.... e (B3m +1)+.... f(B1m — 1 ) + .... (B2m—1) 1) +...... étant divisible par a, le nombre proposé le sera également si la deuxième partie ou (.... b + d + f+....) — (.... c + est divisible par a. .... COROLLAIRES. 1o D'après le système décimal, un nombre sera divisible par 11 ou 10+ 1, lorsque l'excès de la somme des nombres représentés par les chiffres de rang impair, pris de droite à gauche, sur celle des nombres exprimés par les chiffres de rang pair, admet 11 pour diviseur. Ce caractère de divisibilité est le même que celui du facteur B + 1 d'après le système B; 2o D'après le système décimal, un nombre est divisible par 7 ou 13, facteurs de 103 + 1, lorsque l'excès de la somme des nombres représentés par les tranches de 3 chiffres de rang impair, prises de droite à gauche, sur la somme des nombres exprimés par les tranches de 3 chiffres de rang pair, est divisible par 7 ou 13. § III. .... DETERMINATION DES FACTEURS TANT PREMIERS QUE NON PREMIERS D'UN NOMBRE D'UNITÉS ENTIÈRES. 88. La connaissance des caractères de divisibilité sera particulièrement utile dans la résolution de cette question, puisqu'elle permet de déterminer rapidement si un nombre est divisible par 2, 3, 4, 5, Quant à la détermination des facteurs d'un nombre entier, on conçoit qu'elle sera d'un grand secours pour la simplification des opérations que nous avons eu à exécuter sur les nombres, soit entiers, soit fractionnaires : nous en reprendrons, du reste, quelques-unes. 89. Avant de procéder à la recherche des facteurs entiers d'un nombre N, démontrons quelques principes sur lesquels il faudra s'appuyer. PRINCIPE Ier Tout nombre premier & qui ne divise ni l'un ni l'autre des nombres A et B ne peut diviser leur produit AB. Pour le démontrer, supposons que le nombre premier puisse diviser le produit AB, tout en ne divisant ni le facteur A, ni le facteur B, et prouvons que les conséquences de cette hypothèse sont inadmissibles. A Comparons les nombres A,B et le produit AB au B nombre ẞ. Puisque ẞ ne divise ni A, ni B, on aura les restes R et r étant plus petits que 3. Et le produit AB sera de la forme ou AB (3Q+R) (ẞq + r) = Qqß2 + Rqß + rQß + Rr, ABB (Qg3Rq+Qr) + Rr (3). Or, si l'on suppose que ẞ divise AB, comme la première partie de AB est divisible par 8, on suppose par là même que la deuxième partie Rr soit divisible par ẞ, c'est-à-dire qu'on ait k étant entier. Rr = f.k (4), Remarquons que, si l'un ou l'autre des restes R et r est égal à l'unité, notre hypothèse est déjà inadmissible, car si l'on a, par exemple, R = 1, la condition (') de divisibilité de AB par ẞ devient r = = B.k, c'est-à-dire une impossibilité, puisque r < ß. Admettons donc que R et r soient > 1. La première conséquence de l'hypothèse AB divisible par , est, dans ce cas, que le produit des deux nombres R et r, tous deux plus grands que 1 et tous deux < ß, doit être divisible par ß, de sorte qu'on ait Rr = f.k (3). Ensuite, puisque R < ß, si l'on divise ẞ par R, il viendra c'est-à-dire que Rrq'+R'r est divisible par 3. Mais, par suite de notre hypothèse, la partie Rr.q' étant divisible par ce nombre, il faudra que l'autre partie R'r le soit aussi. Le nombre R', reste de la division de par R est <R, et ne peut d'ailleurs être nul, puisque est premier. Donc, une nouvelle conséquence de notre hypothèse est que le produit R'r <Rr, sans être nul, doit être divisible par ß, de sorte qu'on ait : R'r R'rẞ.k'. En poursuivant le même raisonnement, on déduira de cette dernière conséquence une troisième conséquence, à savoir qu'un autre produit Rr ou R'r' < R'r, sans être nul, doit être divisible par ß. Et en continuant la suite de ces produits décroissants, on parviendra nécessairement à un produit <ẞ, lequel, sans être nul, devrait encore être divi sible par ß, ce qui est impossible. La conséquence de l'hypothèse: AB divisible par le nombre premier ß, A et B n'étant pas divisible par ce nombre, est donc inadmissible, et celle-ci ne saurait exister. 1° Tout 90. Corollaires du principe précédent. nombre premier & qui divise un produit AB et qui ne |