posé de deux parties x et y +z+u+. +y+z+u+ = ... a; on ·xm + Cm,1 axm−1 + ... + Cm,n an xm-n + +am, a= = ... ... · y + z + u + ... (1), xm + Cm,1 am−1 (y + z + u + ...) + ... + Cm,n xm-n (y + x + u + ...)n + ... + (y + z + u + ...)m. Le polynôme y + z + u +. dont les puissances entrent dans les termes du développement, peut, à son tour, être considéré comme composé de deux termes y et z + u + =b, et l'on aura ou ... ( x + y + z + u + ...)m = xm + m xm−1 (y + b) + ... (x + y + z + u + ...)m = xm +mxm-1 (y+b) + ... +Cm,nam-n(yn +...+Сn,n'bn' yn−n' + ...) + ... + (y +...) (2). Le polynôme b =z+u+ ..., dont les puissances entrent dans ce développement, peut aussi être considéré comme composé de deux termes z et u + ... c, et l'on aurait une nouvelle expression du développement de (x + y + z + u + ...)m. = Mais, pour plus de brièveté, nous allons nous occuper seulement de former un terme quelconque du développement cherché. Un terme général du développement (2) est comme composé de deux parties z et c = u + on obtient Cm,n. Cn,n'. xm—n yn−n' (z + c)n'. L'expression générale d'un terme du développe ment de (z+c)n' est Cn', n' zn'—n''. cn", et, par conséquent, un terme général du développement cherché est ·xm—n yn— n' zn'—n'' vn"'—n!!! [m-n] [n-n'] [n'-n"] [n"-n""].... dans lequel la somme des exposants (m—n) + (n-n') + (n' — n') + (n" — n'") +....=m. 2o (x+a+b)2= x2+2ax + a2 + 2bx+2ab+b2; 3o (x+a+b3 = x3 + 3x2 (a + b) + 3x (a + b)2 + (a+bj3, § V. COMBINAISONS DE L'ADDITION, DE LA SOUSTRACTION ET DE L'EXTRACTION DES RACINES. 76. Des racines de quantités monômes formées de plusieurs facteurs. De ce que (no 72) Au point de vue de la représentation graphique, on peut donc énoncer la règle suivante : ième On obtient l'expression de la racine meme d'un monôme en écrivant l'expression de la racine mieme du coefficient et, à la suite de celle-ci, les lettres qui désignent les facteurs du monôme, affectées chacune d'un exposant égal à la mi neme partie de l'exposant dont cette lettre est affectée dans le monôme donné. De ces considérations et des notions de puissance et de racine, on conclut les résultats suivants : 1° (racine neme du produit abcd) 1 1 1 (abcdn =an bn cn dn (est égale au produit des racines nemes de chacun des facteurs); = Р 2o (a”b”)" — ab′′ (a × par la racine nième de la pième puissance de b). Par exemple, 1 27.2)ỗ (a3.a); (b3)¦ (c2) · = (27)3 (a3jā (b3)3 × 23 a¦ (c2); (54a1 b3 c2)3 = (27. = 3ab. (2ac2); 1 -= (a3) (8a2) — 8 a3 — 2a3 ; (48a*b*c)= 2ab3c (3ac2)}; = 8} 1 = (192a7bc12)6 = (64a® 3o (a) (racine mnième de la nième puissance de a), 1 (4a2)ỗ = [(4a2)}}¦ — (2a)}, (36a2b2)¦ = [(36a2b2)}]¦—(6ab); 4o (la racine mème de a) (est égale à la racine mnième de la n" nième de a). puissance Ce principe sert à ramener deux ou plusieurs racines au même degré, ce qui est souvent utile. Soient, par exemple, les deux racines (2a) et (a+b) que l'on veut réduire au même degré; on aura (a + b) = [(a + b)3]113 = [(a + b)3]}. Ainsi, pour réduire deux ou plusieurs racines au même degré, on multiplie le degré de chaque racine par le produit de tous les autres degrés et on élève la quantité dont il faut extraire la racine à une puissance d'un degré marqué par ce produit. Soit à ramener au même degré les racines Si les 77. Addition et soustraction de racines. racines données sont identiques, c'est-à-dire si l'on donne des racines de même degré d'un même nombre, l'addition et la soustraction se feront aisément. Sinon, il faut ramener les racines au même degré. |