71. REMARQUE. - Le quotient d'un polynôme par un autre ne peut pas toujours être exprimé complètement par un polynôme composé de parties entières. Après les divisions que nous venons de faire, on conçoit que cela n'est possible que si:

1o Le quotient du premier terme du dividende ordonné par le premier terme du diviseur et celui du dernier terme du dividende par le dernier terme du diviseur sont des nombres entiers;

2o Le quotient du premier terme de chaque dividende partiel divisé par le premier terme du divi

seur est un nombre entier;

3o Après un certain nombre de divisions partielles,

on trouve au quotient un terme qui, multi

plié par le diviseur, reproduise le dernier dividende partiel.

§ IV.

-COMBINAISONS DE L'ADDITION, DE LA SOUSTRACTION
ET DE L'ÉLÉVATION AUX PUISSANCES.

72. Des puissances d'une quantité monôme formée de plusieurs facteurs. La puissance même d'un monôme étant le produit de m facteurs égaux à ce monôme, on trouve aisément :

Au point de vue de la représentation graphique, on pourrait énoncer la règle suivante :

ième

On obtient l'expression de la puissance m' tème d'un monôme en écrivant l'expression de la puissance m du coefficient et, à la suite de celle-ci, les lettres qui désignent les facteurs du monôme, affectées chacune d'un exposant égal à m fois l'exposant dont cette lettre est affectée dans le monôme donné.

73. Des puissances d'un binôme composé de parties additives. Au no 25, nous avons reconnu la loi de composition de la puissance meme d'un binôme composé de deux parties additives. Il nous sera facile

maintenant de former la puissance meme d'un polynôme quelconque composé de parties additives et soustractives.

Mais, rappelons d'abord la composition de la puissance meme du binôme (x + a):

-2

(x+a)m = xm + Cm, 1 axm 1+ Cm, 2 a2xm −2 + ... + Cm,n anxm — n

+ Cm,m am- x + Cm,m.am ou am;

m-1

ou, remplaçant Cm,1,... Cm,n,... par leurs valeurs :

et faisons quelques remarques :

1o Le coefficient d'un terme quelconque du développement est égal au coefficient du terme précédent, multiplié par l'exposant de x dans ce terme et divisé par la différence entre l'exposant m et celui de x, ou par l'exposant de a, dans le terme que l'on considère. C'est ce qu'on voit immédiatement en comparant le terme quelconque :

2o Dans le développement de (x + a)", si les parties sont ordonnées comme ci-dessus par rapport aux puissances décroissantes du nombre x, les coeffi

cients des parties à égale distance des extrêmes sont égaux. En effet, le coefficient du terme dans lequel l'exposant de x est mn ou qui a n termes avant lui est Cmn, le coefficient du terme dans lequel l'exposant de x est n ou qui en a n après lui est Cm,m-n, et l'on a :

m(m1)....(n+1) m(m-1)... (n+1)n (n−1).....3.2.1

1.2.3....n. 1.2.3...(m—n)

Cm,m-n

1.2.3... (mn)

=

Il était, du reste, évident à priori que Cm,n Cmn-n puisqu'en divisant successivement le produit des m nombres par chacun des produits de ces nombres pris n à n, on obtient pour quotient un produit de m-n nombres, et que le nombre de ces quotients ou produits différents des nombres pris m n à m n est Cm,n.

--

Ces deux remarques fournissent un moyen de développer rapidement la puissance meme d'un binôme; de la seconde, il résulte qu'après avoir trouvé la première moitié des termes de (x+a)TM, on a les coefficients des termes de la seconde moitié, qui sont les mêmes que ceux de la première pris en sens inverse.

Exemples:

(x + a)2 = x2 + 7ax® + (7,6 ou a2x5+

2

21) a2x2 + (24.5 ou 35) a1.

+35a1x3 +21a3x2 + 7a3x + a2;

3

+120 a7 x3 + 45 a8 x2 + 10 ao x + a1o.

74. Des puissances d'un binôme composé d'une partie additive et d'une partie soustractive. -On rechercherait leur loi de composition de la même manière que pour (x + a)m, mais on l'obtient plus rapidement en remarquant qu'il suffit d'examiner ce que deviennent les produits partiels du développement de (x+am si le nombre a est soustractif. Or (n° 66), si a est soustractif, le carré du (-a) (') ou le produit du nombre soustractif par lui-même est additif et égal à a2, la troisième puissance du (— a) ou a2 X(-a) est soustractive, ..., en général, les termes qui renferment les puissances de degré pair du nombre soustractif sont additives, et les parties qui renferment les puissances de degré impair du nombre soustractif sont soustractives dans le polynôme cherché, c'est-à-dire que

75. Des puissances d'un polynôme (x+y+z+u +...). -Soit à trouver la puissance meme de ce polynôme. Ce dernier peut être considéré comme com

(1) (— a) représente l'idée : « le nombre soustractif a >>.