sieurs nombres est toujours le même dans quelque ordre qu'on les multiplie. Donc le produit de la quantité 7a3b par 4a2b est : Or, le produit de la troisième puissance, a3, d'un nombre a par sa deuxième puissance, a2, est sa cinquième puissance, a3, ou la puissance dont l'exposant est la somme de 3 et de 2; de même, le produit de la deuxième puissance, b', d'un nombre par lui-même est sa troisième puissance, b3, ou la puissance dont l'exposant est la somme de 2 et de 1. On en déduit, par une induction évidente, qu'en général le produit de la même puissance d'un nombre a" par sa neme puissance, a", est sa m+nieme puissance, am+", ou la puissance dont l'exposant est m+n. On conclut de là que : 28 fois le produit de la cinquième puissance de a par la troisième puissance de b. Par le même raisonnement, on trouvera que : REMARQUE. Au point de vue de la représentation graphique, on pourrait énoncer la règle sui vante : On obtient l'expression du produit de deux monômes en écrivant l'expression du produit des coefficients et, à la suite de celle-ci, les lettres qui désignent les facteurs du multiplicande et du multiplicateur, en affectant chaque lettre d'un exposant égal à la somme des exposants dont cette même lettre est affectée dans les facteurs. 64. Multiplication d'un polynôme composé de termes additifs et soustractifs par une quantité monôme. — Il est clair qu'il suffit de multiplier successivement chacune des parties du polynôme par le nombre. monôme. Ainsi : si un nombre k est facteur commun à toutes les parties d'un polynôme, celui-ci est équivalent au produit de k par le polynôme composé des quotients de chacune des parties par k. 65. Multiplication d'une somme de plusieurs parties par une autre somme de plusieurs parties ou d'un polynome composé de termes additifs par un autre polynome composé de termes additifs. Le produit du polynôme multiplicande par le polynôme multiplicateur est formé du produit de toutes les parties du premier par chacune de celles du second. Ainsi : (a+b+c) (d+f) = (a + b + c) d + (a + b + c) f EXEMPLE: (3a2+4ab+b2) (2a+5b)=6a3+8a2b+2ab2+15a2b+20ab2+563 manière. 66. Multiplication d'un polynôme, abc-d, composé de parties additives et soustractives par un autre polynôme, f―gh―k, composé de la même Le polynôme multiplicande et le polynôme multiplicateur sont des nombres égaux à la différence entre la somme de leurs parties à additionner et celle de leurs parties à soustraire. Désignons la partie additive, a + c, du polynôme multiplicande par A et sa partie soustractive, b+d, par B; nommons C et D les parties analogues dans le multiplicateur. Le produit cherché est donc celui de la différence, A B, par la différence CD. Or, ce produit est égal à la différence A -B répétée autant de fois qu'il y a d'unités dans C, diminuée d'autant de fois A B qu'il y a d'unités dans D, c'est-à-dire que : d'où (A — B) (C — I)) = (A - ·B) C — (A AC BC - B) D BD) BD; (abcd) (f―g+h-k) = (a+c) (f + h) — (b + d) (f + h) -(a+c) (gk) + (b + d) (g + k) = af + cf +ah+ch-bf - dfbh dh ag cgak ck+bg+dg+bk + dk, ou, pour écrire les parties dans l'ordre où elles se présentent : afbfcfdf-ag+bg-cg+dg+ah-bh-ch- dhak +bkck+dk. SYNTHÈSE. Dans le polynôme, produit de deux polynômes formés de parties additives et de parties soustractives, les produits des parties additives du multiplicande par les parties additives du multiplicateur et des parties soustractives du premier par Produits partiels par les parties soustractives du second sont à additionner; les produits partiels des parties soustractives de l'un par les parties additives de l'autre sont à soustraire. EXEMPLE. Dans la pratique, afin d'obtenir plus de symétrie, on ordonne les deux polynômes par rapport aux puissances d'un même facteur contenu REMARQUE. On a, dans le produit final, réuni les parties semblables ou de même grandeur. Il est à remarquer que, parmi ces parties, il s'en trouve qui ne peuvent se réduire avec aucune autre; ce sont : 1o la partie provenant de la multiplication du terme du multiplicande qui renferme la plus haute puissance d'un quelconque des facteurs dans les différents termes, par le terme du multiplicateur qui renferme la plus haute puissance du même facteur; 2o la partie provenant de la multiplication du terme du multiplicande qui renferme la plus faible puissance d'un quelconque des facteurs dans les différents termes, par le terme du multiplicateur qui renferme la plus faible puissance du même facteur. En effet, ces deux produits partiels doivent renfermer une puissance de ce facteur plus élevée ou plus faible que celle des autres produits partiels, et, par conséquent, ne peuvent être semblables à aucun d'eux. § III. COMBINAISONS DE L'ADDITION, DE LA SOUSTRACTION ET DE LA DIVISION. 67. Division d'une quantité monôme formée de plusieurs facteurs par une autre quantité monôme for |