cédera de la manière suivante à la conversion d'une fraction quelconque en fraction décimale : On dispose les expressions des deux termes, numérateur et dénominateur, comme dans la division. On divise le numérateur par le dénominateur, et l'on place une virgule à la droite de l'expression du quotient. On écrit un 0 à la droite de celle du reste, et l'on divise le nombre désigné par le résultat par le dénominateur; le quotient est le nombre de dizièmes. On écrit un 0 à la droite de l'expression du nouveau reste, et l'on divise le nombre désigné par le résultat par le dénominateur; le quotient est le nombre de centièmes, et ainsi de suite. Si l'une de ces divisions se fait sans reste, la fraction proposée peut se convertir exactement en décimales, sinon la méthode fournit seulement des valeurs de plus en plus approchées. Dans ce dernier cas, la fraction décimale obtenue diffère de la fraction proposée d'une quantité moindre que l'unité de l'ordre décimal auquel on a arrêté le quotient. 48. Il est facile maintenant de convertir en fractions décimales les fractions qui font partie des quotients dans les exemples de division traités au no 46. On trouve, en appliquant la règle donnée ci-dessus : 49. REMARQUE. Il serait utile de savoir à priori si la fraction proposée est commensurable ou non avec les subdivisions décimales de l'unité. Cela revient évidemment à reconnaître si le numérateur multiplié par une puissance de 10 convenable est divisible ou non par le dénominateur; nous serons en mesure de résoudre la question après avoir étudié les nombres dans leur composition intérieure. Des puissances et des racines des fractions 50. La recherche des puissances et des racines des fractions décimales et des nombres fractionnaires décimaux n'exige aucun procédé particulier et ne subit d'autres modifications que celles des méthodes de représentation. Donnons quelques exemples de l'extraction des racines de fractions décimales et des racines de 51. Il résulte de l'analyse des rapports simples de grandeur existant entre les nombres que : « Tout nombre d'unités, entières ou fractionnaires, peut être considéré en tant que somme, produit ou puissance, ou, inversement, en tant que différence, quotient ou racine d'autres nombres. Nous ne concevons pas, d'ailleurs, la possibilité d'autres rapports simples de grandeur entre les nombres ou les quantités; car tout nombre, entier ou fractionnaire, ne peut être envisagé que comme somme de nombres inégaux et comme somme de nombres égaux, et, de ce dernier point de vue, comme somme d'un nombre d'unités répété une ou plusieurs fois en nombré égal ou inégal à luimême. CHAPITRE III. THÉORIE DES SYSTÈMES DE NUMÉRATION. 52. Nous avons reconnu les divers rapports simples de grandeur que les nombres d'unités supportent entre eux et exposé les procédés d'opération qui permettent de déterminer ces rapports, lorsqu'on adopte la numération décimale et le système de représentation graphique au moyen de 10 chiffres. Mais on conçoit que l'essence des quantités ou des nombres d'unités est indépendante de telle ou de telle nomenclature, de tel ou de tel système de représentation graphique que nous puissions leur appliquer, et que, par conséquent, nous devons développer l'étude de leurs lois et de leurs propriétés indépendamment de ceux-ci, en les désignant par des signes quelconques, par exemple des lettres. Toutefois, avant de procéder à cette étude, éclaircissons cette dernière idée en montrant la possibilité d'énoncer et de représenter les nombres au moyen d'un système quelconque de mots et de signes, c'està-dire en établissant la théorie des systèmes de numération. 53. Des systèmes de numération et de représentation graphique. Nous avons déjà dit (no 3) que l'on |