Soient d'abord p pair et h impair, on reconnaît de suite que la partie de S,, où i 2k, a la même valeur que la somme entière S; et comme l'autre partie, où i = 2k + 1 et 12 = 4 (k2 + k) + 1, re vient à = les sommes en question seront nulles. Pour p impair et h impair, la partie de la somme S,, où i = 2k, se réduisant à sera nulle, l'autre partie devra donc être égalée à S. Mais la décomposition en facteurs donne Mais comme h est impair, (− 1)9h = (− 1)a — (− 1) · 1)^ (24) se réduira à le facteur (— 1)9h (分) Pour h pair, on posera h = p - h', d'où h' impair; alors données dans le Mémoire cité plus haut (tome V de ce Journal, page 52). Sur le développement en fraction continue de la racine carrée d'un nombre entier; PAR M. J.-A. SERRET. Si l'on développe en fraction continue la racine carrée d'un nombre entier non carré, et que l'on forme la suite des fractions convergentes, il y aura toujours une relation simple et uniforme entre les deux fractions qui répondent au dernier quotient, dans les périodes de rangs n et 27. Je ne sache pas que cette relation soit connue; aussi ai-je cru utile de l'indiquer en quelques mots. Pu Soient A un nombre entier non carré, a la racine du plus grand carré qui y est contenu, oux, la fraction convergente qui répond au dernier quotient dans la période de rang », lequel est, comme on sait, égal à 2 a, et enfin aura évidemment P la fraction convergente qui précède : on Qn d'où l'on déduit les valeurs connues de P et de Q, savoir : On arrive ainsi à ce résultat très-simple, que la fraction x2 est la moyenne arithmétique des valeurs x et A 4. Il est assez remarquable que cette quantité x2n soit précisément celle que donne la méthode d'approximation de Newton, lorsqu'on prend x, pour première valeur approchée. Cette méthode donne, en effet, pour seconde approxi mation, n P Les fractions convergentes x, qui répondent au dernier quotient dans les périodes successives ne sont pas toujours les seules jouissant de cette propriété; il peut arriver, en effet, qu'en partant d'une fraction convergente quelconque ~, la méthode de Newton en fournisse une seconde. Soient, en effet, P, et Q, les quotients des nombres P2 + AQ2 et 2 PQ par leur plus grand commun diviseur D, le résultat fourni par la méthode de Newton sera Q P Cette condition sera toujours remplie, si est l'une des fractio car, dans ce cas, P2 - AQ2 = 1; mais il est évid l'être aussi dans beaucoup d'autres cas. En particulier, si l'on applique la méthode de qu'elle peut won a l'une quelconque des fractions convergentes vers √39, on este ed è une seconde fraction convergente. FIN DU DOUZIÈME VOLUME. |