de magnétisme, il faut considérer un espace dans lequel la valeur de soit zéro. L'interprétation du résultat ne présente aucune difficulté, mais il est plus difficile de bien comprendre comment la démonstration telle que je l'ai donnée plus haut se prête à ce cas. En essayant de l'expliquer nettement, j'ai trouvé une démonstration directe du théorème suivant, qui renferme le résultat dont il s'agit: « Il est possible de trouver une fonction V qui s'évanouisse pour » les valeurs infiniment grandes des variables x, y, z, et satisfasse à >> l'équation » pour tous les points extérieurs à une surface fermée S, avec cette >> condition » dans laquelle F est une fonction arbitraire des coordonnées d'un point sur la surface S, et dn est l'élément d'une normale extérieure » à la surface en ce point. relative à l'espace extérieur à S. Parmi toutes les fonctions V qui vérifient la condition ff VFdS = A, où A est une quantité quelconque, il y en a une pour laquelle l'intégrale Q est un minimum. Une fonction V, ainsi déterminée, satisfait aux équations (où c est une constante), comme on s'en assure par le calcul des variations. Suivant les valeurs de A, c aura des valeurs proportionnelles ; on peut prendre A telle que c = 1. De là on conclut le théorème énoncé. Il serait facile d'ajouter une démonstration, que la solution du problème de la détermination de V sous ces conditions est unique. wwwm Sur le symbole a symbole (2) et quelques-unes de ses applications; PAR M. V.-A. LEBESGUE, Correspondant de l'Institut, Professeur à la Faculté des Sciences de Bordeaux. I. Définition du symbole (2), d'après Legendre et M. Jacobi. Soient a, b deux nombres entiers premiers entre eux, qui ne sont pas tous deux négatifs et dont le second est impair; (†) -1, selon les cas dont voici l'énumération : 1o. Si b est un nombre premier positif, (2) que sera I ou sera + I OU I, selon b sera résidu ou non-résidu quadratique de p; autrement, b sera le reste de a 2 divisé par b (LEGENDRE). 2o. Si b est un nombre composé positif, b = pqr..., les facteurs p, q, r,... étant des nombres premiers égaux ou non, on aura A ces propositions on joindra les suivantes, dont la démonstration exige quelques développements: Dans cette dernière équation, p et q sont deux nombres impairs. II. Sur la démonstration des équations fondamentales. Si l'on voulait énoncer les propositions exprimées par les équations précédentes, il suffirait de dire que les nombres premiers à un nombre impair p se partagent en deux classes: la première renfermant les nombres k, qui donnent (分) = 1; = la seconde renfermant les nombres k, qui donnent Pour p premier, la première classe est celle des résidus quadratiques, et la seconde, celle des non-résidus. Pour p composé, pqrs... (q, r, s,... étant premiers), la premiere classe est celle des nombres qui sont non-résidus quadratiques d'un nombre pair (0, 2, 4,...) des facteurs q, r, s,...; la seconde classe est celle des nombres qui sont non-résidus d'un nombre impair des mêmes facteurs q, r, s,.... Voici maintenant les principaux énoncés: << Des nombres congrus suivant le module p sont de même classe. » Un produit abc... sera de première ou de seconde classe relati>> vement à P, selon que les facteurs (a, b, c,...) de seconde classe >> seront en nombre pair ou impair. » Le nombre - est de première classe relativement aux nombres » de forme 49 + 1, et de seconde classe relativement aux nombres de » forme 49 1. » Le nombre 2 est de première classe relativement aux nombres de » forme 8k 1, et de seconde classe relativement aux nombres de >> forme 8 k± 3. » Le nombre - 2 est de première classe relativement aux nombres » de forme 8k + 1, 8 h + 3, et de seconde classe relativement aux » nombres 8k +5, 8k +7. » Les nombres premiers positifs p et q sont de mème classe, l'un » par rapport à l'autre quand p et q ne sont pas tous deux de forme 491. C'est le contraire si p et q sont tous deux de forme 49 - J. Cette dernière proposition est la loi de réciprocité de Legendre.) » La loi de Legendre s'étend à deux nombres quelconques positifs impairs. La démonstration de l'équation 2 pour p composé, revient à montrer qu'en posant pqrs..., ce qui donne P. Il suffit donc de démontrer que les deux nom 2 a+28 1)(−1)2 on peut supprimer le facteur = 1, quel que soit le signe de ẞ. Or 2 peut remplacer 9 -I 2 démonstration est la même pour tant de facteurs qu'on voudra. 2 La a été démontrée pour p premier, on passe, comme pour (→), pour p premier. C'est ce que M. Gauss fait ainsi : Divisez les produits par p, de manière à obtenir des restes positifs et <p, |