sont occupés de cette matière; et tout ce que Poisson (Traité de Mécanique, tome II, page 492) y a ajouté pour faire entrer en considération les termes d'un ordre supérieur, repose sur cette hypothèse inadmissible, que chaque terme du second ordre surpasse la somme de tous les termes d'ordre supérieur.

Mème en complétant les considérations de Lagrange, pour le cas auquel elles s'appliquent et où le maximum se reconnaît par les termes du second ordre, le théorème en question ne serait point prouvé dans toute son étendue. On sait que l'existence d'un maximum est compatible avec l'évanouissement des termes du second ordre; il suffit, en général, que les premiers termes différents de zéro soient d'ordre pair, et que la somme de ces termes soit toujours négative. Les formules relatives à cette dernière condition n'ont pas encore été données, même dans le cas où il s'agit des termes du quatrième ordre. Il faudrait donc les rechercher d'abord. Cela introduirait nécessairement dans la démonstration du théorème de Mécanique dont nous parlons une grande complication. Heureusement on peut démontrer le principe de la stabilité de l'équilibre indépendamment de ces formules, par une considération très-simple qui se rattache d'une manière immédiate à l'idée du maximum.

Outre la supposition déjà faite, que la position d'équilibre réponde aux valeurs λo, po,..., nous supposerons encore que (0, 0, 0,...) = 0; ce qui est permis, à cause de la constante arbitraire. Déterminons la constante en ayant égard à l'état initial donné, pour lequel nous désignerons par vo, o, Po, o,... les valeurs de v, λ, μ, v,.... On a ainsi

Puisque par hypothèse & (λ, μ, 2,...), pour λ= o, μ = 0,..., est nul et p maximum, ou pourra déterminer des grandeurs positives l, m, n,..., assez petites pour que (λ, μ,,...) soit toujours négatif pour tout systeme λ, p.,›,... où les valeurs absolues des variables sont respectivement assujetties à ne pas dépasser les limites l, m, n,..., excepté, toutefois, le seul cas où λ, p,,... sont nuls à la fois. Ce cas est exclu si nous ne considérons que des systèmes tels, qu'au moins une des

variables λ, p.,,... soit égale en valeur absolue à sa limite l, m, n,.... Supposons que de toutes les valeurs négatives de la fonction pour de tels systèmes, - p, abstraction faite du signe, soit la plus petite : alors on peut facilement montrer que, si l'on prend 20, Po, o.... numériquement plus petits que l, m, n,..., et que l'on satisfasse en même temps à l'inégalité

chacune des variables 2, p.,,... restera pendant toute la durée du mouvement au-dessous des limites l, m, n,.... En effet, si le contraire avait lieu, comme les valeurs initiales 2, Po... remplissent la condition que nous venons d'énoncer, et à cause de la continuité des variables λ, p.,,..., il faudrait d'abord qu'à un certain instant, il y eût égalité entre une ou plusieurs valeurs numériques de λ, p, ... et leurs limites respectives l, m, n,..., sans qu'aucune des autres valeurs eut dépassé sa limite. A cet instant, la valeur absolue de (2, p., ...) serait supérieure ou au moins égale à p. Par conséquent, le second membre de l'équation des forces vives serait négatif, à cause de l'inégalité écrite plus haut, et qui se rapporte à l'état initial; ce qui n'est pas possible, mo2 étant toujours positif.

Il suit encore de là, évidemment, que les vitesses v seront toujours comprises entre des limites déterminées, puisque l'on a toujours

Il est évident aussi que les limites pour chaque vitesse, ainsi que celles de chaque variable λ, p., v,..., peuvent être aussi petites que l'on μ, voudra, puisque les quantités l, m, n,... peuvent devenir aussi petites que l'on voudra.

Je vais encore appeler l'attention sur une erreur que l'on trouve dans divers auteurs, et qui se rapporte au sujet que je viens de traiter. On dit (Traité de Mécanique, par Poisson, tome II, page 491) que si un système passe dans le cours du mouvement par plusieurs positions d'équilibre, ces positions successives sont alternativement des positions d'équilibre stable et instable, c'est-à-dire telles, que des maxima et des minima de la fonction (λ, u, v,...) leur correspondent.

On fonde cette assertion sur les théorèmes suivants :

I. Un maximum ou minimum ne cesse pas d'être maximum ou minimum si les variables 2, p,v,..., considérées d'abord comme variables. indépendantes, deviennent, pour les valeurs particulières pour lesquelles le maximum ou le minimum a lieu, fonctions d'une nouvelle variable t.

II. Dans une fonction d'une seule variable t, les maxima et les minima se succèdent alternativement.

Ces deux théorèmes sont vrais, mais ne justifient pas la conséquence qu'on en tire; il faudrait que la réciproque du premier théorème eut lieu, c'est-à-dire que si la fonction (λ, p, v,...), fonction d'une seule variable indépendante t, présente pour une certaine valeur de un maximum ou minimum, la fonction conservât cette propriété, si l'on regarde les valeurs correspondantes de λ, p, ... comine des valeurs particulières de 2, p, 2,..., considérées comme variables arbitraires. Ce qui n'arrive pas nécessairement, mème dans le cas où il n'y a qu'une seule variable, par exemple λ. Ainsi, la fonction 22 a un minimum et pas de maximum, tandis que la fonction sin2 t, dans laquelle la première se transforme en posant λ = sin t, a une infinité de minima, tous égaux entre eux et au minimum de 22, et, de plus, a une infinité de maxima. L'erreur dans laquelle on est tombé à cet égard doit étonner d'autant plus, que la fausseté du théorème énoncé se manifeste déjà dans le mouvement du pendule ordinaire.

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EXTRAIT D'UNE LETTRE ADRESSÉE A M. ALFRED SERRET

PAR M. WILLIAM ROBERTS.

Je viens de trouver quelques courbes sphériques analogues à vos courbes elliptiques de première classe. En prenant pour mon point de départ la propriété que vous avez constatée pour ces dernières, savoir, que l'arc est une fonction elliptique du rayon vecteur, je cherche à déterminer les courbes sphériques dont l'arc peut s'exprimer par une fonction elliptique de la tangente trigonométrique du demi-arc, rayon vecteur sphérique. En désignant par p le teur sphérique, et par l'angle polaire, on a, pour la différentielle d'un arc s de courbe,

Ө

rayon

vec

Maintenant posons, conformément à ce que nous avons supposé,

Cette équation différentielle est tout à fait semblable à celle des courbes elliptiques de première classe, et peut s'intégrer de la même manière.

Les courbes qu'elle représente seront algébriques, si 2+ a n2, n étant une quantité commensurable.

» Voici le système des équations appartenant à nos courbes elliptiques sur la sphère, o étant une constante arbitraire:

L'arc de la courbe représentée par ces équations a pour valeur

La Lettre que M. William Roberts m'a fait l'honneur de m'écrire, et dont je publie ici un extrait, m'a suggéré l'idée de rechercher si les courbes sphériques qu'il a trouvées étaient susceptibles d'un mode de génération analogue à celui que j'ai fait connaître pour les courbes elliptiques de la première classe (tome XI de ce Recueil, page 89). J'ai reconnu aisément que les courbes de M. Roberts ne constituent qu'un cas très-particulier des courbes elliptiques que l'on obtient en exécutant sur la sphère des constructions analogues à celles qui fournissent sur le plan les courbes elliptiques de première classe. C'est ce que je vais faire voir en peu de mots.

Considérons une sphère dont nous prendrons le rayon pour unité, et traçons sur sa surface un triangle sphérique quelconque OMP.

Soit posé