2 non-n=-2Q, n-n=2P, 2n+(p-1) (n,+n)=2(p-1),

8. Pour tirer des formules précédentes la loi de réciprocité, il faut d'abord remarquer que la congruence

x2 m (mod. p)

a toujours deux solutions, quand elle est possible: l'une de ces solutions étant x = z, l'autre sera x = p-z. Il suit de là que les nombres no, ng, n, sont de la forme

aq

(qx1)2 = aq__ (mod. p),

doit être résidu quadratique de p. Réciproquement, si aq est résidu quadratique, on pourra résoudre

car des nombres x2, x2,..., x inégaux donnent un nombre de solutions multiple de q, si q est premier.

De même S qQ+ si q est non-résidu quadratique de

P, et

Si l'on voulait employer les valeurs de N,, il suffirait d'établir la

la comparaison des deux valeurs de N, donne, comme plus haut, la

loi de Legendre.

Dans mes Recherches sur les nombres, je n'ai donné que les valeurs de

་་་་་་་་འང་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་

NOTE

SUR LA STABILITÉ DE L'ÉQUILIBRE;

PAR M. LEJEUNE-DIRICHLET

(Traduit de l'allemand par M. KOPP, Professeur au collège de Cherbourg.)

Si un système de points matériels est sollicité par des forces attractives ou répulsives, qui ne dépendent que de la distance, et qui sont dirigées vers des centres fixes ou qui proviennent des actions mutuelles entre deux masses, l'action et la réaction étant égales; si, en outre, les équations de condition qui lient les coordonnées des différents points ne contiennent pas le temps, l'équation des forces vives (établie dans toute sa généralité par D. Bernoulli) aura lieu. Cette équation est

Σmo2 = f(x, y, z, x',...) + C.

Le signe s'étend à toutes les masses du système, chaque masse étant représentée par m, et sa vitesse par v; C est une constante arbitraire. La fonction des coordonnées ne dépend que de la nature des forces, et peut s'exprimer par un nombre déterminé de variables indépendantes λ, p., v,..., de sorte que l'équation des forces vives s'écrira

Σmo2 = 9 (2, μ, v,... ) + C.

La fonction P est liée d'une manière intime aux positions d'équilibre du système; car la condition qui exprime que, pour certaines valeurs

[*] Journal de M. Crelle, tome XXXII, 1846.

déterminées de 2, p., v,..., le système est dans une position d'équilibre, coïncide avec celle qui exprime que, pour ces mêmes valeurs, la différentielle totale de est nulle. De sorte qu'en général, pour chaque position d'équilibre, la fonction sera un maximum ou un minimum. Si le maximum a lieu réellement, l'équilibre est stable, c'est-à-dire que, si l'on déplace infiniment peu les points du système de leurs positions d'équilibre, et qu'on donne à chacun une petite vitesse initiale, dans tout le cours du mouvement les déplacements des différents points du système, par rapport à la position d'équilibre, resteront toujours compris entre certaines limites déterminées et trèspetites.

Ce théorème est un des plus importants de la Mécanique. Il est la base de la théorie des petites oscillations, qui conduit à tant d'applications intéressantes relatives à la Physique. On doit donc s'étonner qu'on n'en ait donné jusqu'ici qu'une démonstration peu rigoureuse et insuffisante.

Supposons, comme il est permis de le faire sans nuire à la généralité, que la position d'équilibre du système, ou le maximum de la fonction 4, corresponde aux valeurs = o, po, etc. La démonstration donnée par Lagrange (Mécanique analytique, première partie, section III se ramène à ceci : le développement de la fonction suivant les puissances de, p,,..., qui commence par les termes du second ordre, est réduit à ces termes; puis, d'après la condition connue du maximum, que les termes du second ordre peuvent être considérés comme une somme de carrés négatifs, on déduit pour λ, p, ..., des limites que ces quantités ne peuvent pas franchir. Ce genre de démonstration, employé encore dans d'autres questions de stabilité, et surtout dans l'Astronomie physique, manque de rigueur. En effet, on peut douter avec raison que des grandeurs pour lesquelles on trouve, avec l'hypothese qu'elles seront toujours petites (car ce n'est que dans ce cas que l'on peut négliger les termes d'un ordre supérieur) de petites limites, resteront toujours renfermées réellement, au bout d'un temps quelconque, dans ces limites, et même, en général, dans des limites petites.

La démonstration que nous venons de citer a été reproduite, sans modification importante que je sache, par tous les auteurs qui se