De même, on trouvera, pour la valeur de (II), — 2 F (k) = (k', ' ñ) — 1 [F (k')]3 [E (k) — F (k)]—log kF(k) F (k') - 2 π expression qu'on peut mettre, après quelques réductions, sous la forme simple '4 ¦ π [F (k)]2 — ¦ π [F (k' )]2 + ¦ log (4,4 ́1) F (k) F (k'). Enfin, la valeur de la troisième de nos intégrales sera '4k' www.ww wwwww wwwwwm Démonstration nouvelle et élémentaire de la loi de réciprocité de Legendre, par M. Eisenstein, précédée et suivie de remarques sur d'autres démonstrations qui peuvent être tirées du même principe; Par M. V.A. LEBESGUE, Correspondant de l'Institut, Professeur à la Faculté des Sciences de Bordeaux. La démonstration de M. Eisenstein, dont je veux parler ici (car M. Eisenstein en a donné plusieurs), est celle qui a paru en 1844 dans le tome XXVII du Journal de M. Crelle. Il est dit, dans le préambule, que dans l'espace de près de trente ans, on n'avait rien ajouté de nouveau aux six démonstrations de M. Gauss. Désirant connaître le fondement de cette assertion, j'ai relu les six démonstrations de M. Gauss et celles qui sont parvenues à ma connaissance; j'ai été conduit à quelques remarques que je vais exposer brièvement: 1o. La démonstration de M. Jacobi, communiquée à Legendre en 1827, et qui a paru en 1830 dans la troisième édition de la Théorie des Nombres, ou, ce qui revient au même, la démonstration donnée par M. Cauchy, en 1829, dans le Bulletin de Férussac, peut être regardée comme une simplification de la sixième démonstration de M. Gauss. 2o. Le principe fondamental de la démonstration nouvelle et élémentaire de M. Eisenstein paraît emprunté à la sixième démonstration de M. Gauss. En d'autres termes, ces démonstrations emploient le développement où le symbole (-) représente + 1 si i est résidu quadratique du P, premier impair et positif, et si i est non-résidu quap. nombre dratique de M. Gauss suppose x tout à fait indéterminée. MM. Jacobi et Cauchy supposent x = 1, x imaginaire. 3o. La démonstration que j'ai donnée dans le tome III, page 142 de ce Journal (Recherches sur les Nombres), peut être considérablement abrégée par l'emploi du développement indiqué plus haut, ou plutôt par celui-ci, 1. La sixième démonstration de M. Gauss dépend du développe i=p→! ment de la somme i=1 x' élevée à la puissance q. L'auteur, qui emploie une autre notation, commence par montrer que la quan tité est divisible par §2 — (— 1) 2 p i=p-1 le nombre 1 + x + x2 + ... +x3- = Σ x'; est supposé positif premier et impair. La quantité x est tout à fait arbitraire. On voit donc que pour x = 1, on a ce qui avait été déjà prouvé par le même auteur dans ses Recherches arithmétiques. M. Gauss donne ensuite une double expression de la somme ", d'où résulte une identité qui conduit à la loi de réciprocité. 2. La rédaction que Legendre a donnée de la démonstration de M. Jacobi n'est pas complétement satisfaisante. D'après une Note qui se trouve à la page 172 du tome XXX du Journal de M. Crelle, la démonstration de M. Jacobi serait celle que M. Eisenstein a exposée dans un article intitulé: « La loi de réciprocité tirée des formules de » M. Gauss, sans avoir préalablement déterminé le signe du radical » (Journal de M. Crelle, tome XXVIII). La démonstration de M. Cauchy n'est qu'indiquée dans le Bulletin de Férussac (septembre 1829): elle se trouve avec tous les développements nécessaires dans la quatrième Note du Mémoire sur la théorie des nombres (Mémoires de l'Académie royale des Sciences, tome XVII). Voici, avec une légère modification, la rédaction de M. Eisenstein. Mais on reconnaît tout de suite que S7-S, se réduit à une somme de termes de la forme qAx1 où A est entier, pourvu que q soit un nombre premier et impair; il en sera donc de même de S (S? - S1), et l'on m = = q (A + Bx + ... Gx12 + Hx11), où m, q, A, B,..., H sont des nombres entiers; comme on a q H (1 + x + x2 + ... + x3-1) = 0, l'équation précédente deviendra m = q [(A − H) + (B − H ) x + ... + (G → H ) x2-2 ]. ce qui montre que q divise m, et, par conséquent aussi, sera également divisible par q, ce qui ne peut arriver que pour |