Mais en représentant par r, r', R les distances du point mobile aux deux foyers F, F' situés dans le même plan méridien, et à l'origine O des coordonnées, on a

Donc

r = p+p, r' = p — p., R2 = p2 + μ2 — c 2.
−

U = 1⁄2 + 1⁄2 + k R 2.

Cette expression de la fonction des forces est celle qui convient au cas d'un mobile sollicité par des forces qui émanent, proportionnellement à l'inverse du carré des distances, des deux centres variables F, F, et proportionnellement à la distance, d'un troisième centre O fixe et placé au milieu de la droite qui joint les deux autres. Notre analyse fournit donc, en particulier, la solution de ce cas nouveau et remarquable du mouvement d'un point matériel sollicité par trois centres en ligne droite, mais dont un seul est fixe, tandis que les deux autres tournent à l'entour, sur une circonférence de cercle, de manière à être situés à chaque instant aux deux extrémités du diamètre qui a, dans le plan du cercle, même longitude que le point matériel proposé. Nous n'avons pas l'intention d'y insister ici davantage, mais par la suite nous y reviendrons dans un article spécial, en faisant usage de la méthode de notre premier Mémoire; car cette méthode qui s'étend, comme je l'ai déjà dit, au mouvement d'un point libre dans l'espace, s'applique avec beaucoup de facilité et d'élégance, et au problème des trois centres fixes, et à celui des centres mobiles. Le problème des centres mobiles, tout aussi curieux et moins rebattu que celui des centres fixes, mérite bien d'ailleurs d'être traité à part.

19. Nous indiquerons enfin en peu de mots un dernier cas particulier dans lequel les formules du § I ont encore besoin d'une transformation 56

Tome XII. - OCTOBRE 1847.

préalable et qui offre aussi de l'intérêt. C'est celui où l'on prend à la fois bo, co, mais en établissant entre b et c le rapport qu'on voudra avant de faire évanouir ces deux quantités. Au n° 16, ce rapport était celui d'égalité, puisqu'on avait posé c=b avant de faire bo. Mais en prenant un rapport quelconque, et, pour conserver b et c dans le résultat final, remplaçant b par nb, c par ne, puis faisant n = o après une préparation convenable, on aura d'autres formules sur lesquelles je me contente d'appeler l'attention du lecteur. Je dirai seulement que le système général de nos coordonnées, résultant de l'intersection de trois surfaces homofocales, se réduit alors à celui de trois séries de surfaces sphériques et coniques ayant toutes le même centre et orthogonales entre elles. Les cônes dont il s'agit sont, bien entendu, du second degré, et tracent sur les différentes sphères des coniques sphériques d'une excentricité plus ou moins grande, suivant la valeur du rapport donné de c à b. Mais en voilà bien assez sur tous ces cas particuliers.

S IV.

20. Occupons-nous maintenant du mouvement, d'un mobile assujetti à demeurer constamment sur une surface donnée. Les trois coordonnées rectangulaires x, y, z, qui déterminent à chaque instant la position du mobile, s'exprimeront au moyen de deux variables indépendantes a, ẞ. Supposons ces variables tellement choisies, que l'expression dx2 + dy2 + dz2 prenne la forme

2

dx2 + dy2 + dz2 = λda2 + X'dß2,

'λ et l'étant des fonctions de z, ß. Il faut et il suffit, pour cela, que les variables a, ẞ soient les paramètres de deux systèmes de courbes orthogonales entre elles sur la surface donnée.

Cela posé, en désignant par U la fonction des forces, les équations du mouvement seront

Or, pour en trouver les intégrales, il suffira d'avoir, une solution → de l'équation aux différences partielles

contenant, outre la constante C qui entre dans l'équation aux différences partielles elle-même, une autre constante arbitraire A distincte de celle que l'on peut toujours introduire dans ✪ par simple addition. Les intégrales demandées seront, en effet,

A' et C'étant deux nouvelles constantes. Et, de plus, on aura les intégrales intermédiaires

qui donnent

2

2

=

I

2

› (dz) " + x' ( de ) ' = ; (dc) ' + ; (d)' = 2 (U + C),

dt

λ

et montrent ainsi que la constante C est précisément celle qui entre dans l'équation des forces vives. Ce théorème est tout semblable à celui qui nous a servi pour le mouvement d'un point libre, et il se démontre à peu près de même. Au besoin, du reste, on peut consulter un Mémoire de M. J. Binet, inséré dans le Journal de l'École Polytechnique. 21. Lorsqu'on a

ce qui est le cas discuté dans notre premier Mémoire, la fonction ✪ s'obtient aisément. En effet, l'équation aux différences partielles peut alors se mettre sous la forme

2

+ (18)2 = 2 ƒ (a) + 2Cq (a) — 2F (ß) — 2 C☎ (ß),

(1)+()

-

A étant une constante arbitraire. Donc

• = ƒ da √2 ƒ (a) +2Cq (a) − A + ƒ dß √ A − 2 F (ß) — 2 C☎ (ß).

Cette valeur de nous ramène à nos anciens résultats, en ayant toutefois soin d'observer que la constante de l'équation des forces vives désignée par C dans notre premier Mémoire est représentée par 2 C.

ici

Nous terminerons ici l'exposition de nos recherches sur l'intégration des équations différentielles du mouvement d'un point matériel. L'extension au cas de plusieurs points, libres ou non, des deux méthodes que nous avons suivies pour le cas d'un seul point, fera l'objet d'un autre travail. C'est dans les Additions à la Connaissance des Temps pour 1850 qu'on trouvera ce nouveau Mémoire, auquel nous avons déjà, du reste, renvoyé le lecteur à l'occasion des équations. abéliennes d'ordre élevé.

On doit à M. Serret, comme l'on sait, le théorème élégant relatif à la rectification de la cassinoïde, que son arc s'exprime par une fonction abélienne décomposable en la somme ou la différence de deux fonctions elliptiques de première espèce à modules complémentaires. Cet habile géomètre, qui s'est distingué depuis par des recherches fort ingénieuses sur le problème inverse de rectification, a aussi étudié une classe de courbes plus générale que la cassinoïde, savoir, le lieu géométrique d'un point tel, que le produit de ses distances aux sommets d'un polygone régulier soit constant. On peut appeler ces courbes, ce me semble, cassinoïdes à n foyers. M. Serret a donné l'expression générale de l'arc de ces courbes en fonction du rayon vecteur, mais il n'a pas remarqué (ce qui est le but de cette Note), qu'on est conduit, en considérant la cassinoïde à trois foyers, à des résultats analytiques identiques avec ceux qu'il a trouvés pour la cassinoïde ordinaire à deux foyers, sauf la seule différence que les modules des fonctions elliptiques ne sont pas complémentaires dans le cas nouveau dont il s'agit. L'équation polaire de la courbe dont nous nous occupons est, d'après le théorème de Moivre,

(a)

- 2 a3r3 cos 3w+ a° = b®,

l'origine étant au centre du cercle circonscrit au triangle équilatéral donné dont on désigne le rayon par a, et le produit constant étant égal à b3.

On pourrait démontrer notre proposition en exprimant l'arc de la courbe en fonction de w, ce qui exigerait des procédés différents