Portant ces valeurs de E et ds dans l'équation (9), on effectuera immédiatement l'intégration qui y est indiquée, et l'on aura

la valeur de p répondant à α=o, la valeur de la constante est C" = Po sin 0, + R (1 + a2) cos 。,

Avant de nous servir de cette valeur de p pour former les équations des lignes géodésiques, il est bon de voir ce qu'elle fait connaître sur la nature de ces courbes.

Si l'on fait croître « à partir de zéro, ◊ croîtra aussi à partir de 6=9。 et deviendra égal à π pour la valeur

σ = Ra √√ 1 + a2 (π — §。).

Or, pour 6 =π, la quantité devient infinie, et il en résulte que la tangente de l'hélice, au point qui répond à cette valeur de a, est une asymptote de la ligne géodésique. Si, au contraire, on fait décroître a à partir de zéro, décroîtra aussi; or, si l'on égale à zéro le numérateur de la valeur de P, on trouvera

Ө

valeur qui n'est admissible qu'autant que l'on a

P。 sin 。 + R ( 1 + a2) cos 。 < R ( 1 + a2).

0

Supposons cette condition satisfaite: pour cette valeur de 6 que j'appelle, et qui est moindre que 。, on aura

P

et la quantité est nulle. Donc la ligne géodésique coupe l'hélice au point qui répond à cette valeur de a. Si l'on fait encore décroître a, p sera négatif et deviendra égal à - pouro, qui répond à

ce qui montre qu'une partie de la ligne géodésique est située sur la seconde nappe de l'héliçoïde et a pour asymptote la tangente de l'hélice au point déterminé par cette dernière valeur de a. On remarquera que la différence des valeurs de a répondant aux deux asymptotes est égale à Ra√1 + a2. Pour les valeurs de comprises entre 7 et 27, p reprend, mais en sens inverse et avec un signe différent, les mêmes valeurs que de 0 à 6. En continuant ainsi et concevant que l'on donne à a toutes les valeurs possibles, on voit que la ligne géodésique se compose d'un nombre infini de branches, dont chacune est formée de deux parties situées respectivement sur les deux nappes de l'héliçoïde. Deux branches consécutives ont une asymptote commune, et les diverses branches coupent l'hélice en parties alternativement égales, de telle manière que la différence des distances de deux points de division consécutifs au plan de la base du cylindre est égale tantôt à 2 Ra√ı + a2 (π — 0,), tantôt à 2Rayı + a2.9,. Si la ligne géodésique coupait l'hélice à angle droit, on aurait

et il est clair que toutes les parties de l'hélice deviendraient égales. C'est ce qui a lieu pour les développées de l'hélice, qui sont des lignes géodésiques tracées sur un héliçoïde développable dont l'arête de rebroussement est une autre hélice, de même axe et de même pas que la première, mais située sur un cylindre d'un rayon égal à Ra2. Les équations de la nouvelle hélice se déduiraient de celles de la première en y changeant a en Remplaçant R par Ra2, a par, et, par dans

I

a

I

2

l'expression 2 Ra√i+a20,, on obtient R√1+ a2, pour la différence des distances, au plan de la base du cylindre, de deux points de rencontre consécutifs de la nouvelle hélice et d'une développée quelconque de l'hélice donnée. On en conclut ce résultat connu, que la longueur de chacune des divisions de la nouvelle hélice est égale à πR (I + a2).

Supposons, en second lieu,

Po

sin, + R (1 + a2) cos 。 > R (1 + a2) :

0

dans ce cas, ne pouvant devenir nul, la ligne géodésique ne rencontre

valeur admissible puisqu'elle est moindre que l'unité, d'après l'hypothèse actuelle. En outre, pour cette valeur de, que j'appelle 5,, on a

ce qui prouve que la valeur de p correspondante est un minimum ; et ce minimum sera donné par la formule

Pour des valeurs de moindres que 6,, la quantité p restera positive et ira en croissant jusqu'à ∞, ce qui indique l'existence d'une seconde asymptote qui répond à 6 = o. Par où l'on voit qu'aux valeurs de 6, comprises entre o et л, répond une branche de la ligne géodésique, située tout entière sur une seule nappe de l'héliçoïde. On voit, en outre, que la courbe se compose d'un nombre infini de branches, situées alternativement sur les deux nappes, et dont deux consécutives ont une asymptote commune.

Déterminons maintenant les équations d'une ligne géodésique quelconque. Nous nous servirons des équations (10) dont les deux premières donnent

Quant à la dernière des équations (10), son second membre devient

Or, si l'on tire de l'équation (17) les valeurs de cos

tion de x, y, on trouvera

Par suite, le second membre de la troisième équation (10) deviendra (x2 + y2 — R2) (1+ a2), et cette équation elle-même deviendra

Enfin, l'élimination de a entre les équations (16) donnera l'équation de l'hélicoïde, sur lequel se trouvent toutes les lignes géodésiques; et l'élimination de a entre (17) et (18) donnera l'équation de la projection sur le plan des x, y, d'une quelconque de ces lignes.

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Tome XII-SEPTEMBRE 1847.

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Sur quelques cas particuliers où les équations du mouvement d'un point matériel peuvent s'intégrer ;

PAR J. LIOUVILLE.

SECOND MÉMOIRE.

§ I.

1. Dans mon premier Mémoire [*], je me suis occupé du mouvement d'un point matériel assujetti à se mouvoir sur une surface fixe; et après avoir exposé le principe général de ma méthode, j'en ai fait en particulier l'application au cas du plan, de la sphère, de l'ellipsoïde et de l'hélicoïde gauche. J'ai surtout attaché quelque importance à bien montrer comment la forme même des équations du mouvement d'un point dans un plan conduit par une analyse très-directe à ces coordonnées qu'on nomme elliptiques, coordonnées dont l'usage s'étend naturellement ensuite à la sphère et à l'ellipsoïde, et dont nous nous servirons encore dans ce deuxième Mémoire, où nous nous proposons de traiter par une nouvelle méthode les équations du mouvement d'un point libre dans l'espace. La méthode employée dans le premier Mémoire peut sans doute être étendue à divers cas du monvement d'un point libre. L'extension est même très-facile quand, en exprimant les coordonnées du point mobile à l'aide de trois variables, on peut choisir ces variables de telle manière que l'une d'elles manque à la fois dans la fonction des forces et dans les coefficients des différentielles composant l'expression du carré ds2 de l'arc parcouru à chaque instant. Alors, en effet, une des équations du mouvement s'intègre de suite; ce qui permet d'éliminer dans les deux autres la différen

[*] Tome XI de ce Journal, page 345.