1. Dans les Annales de Mathématiques, t. XIV, p. 17, M. Sturm a démontré un théorème énoncé par M. Talbot, savoir, que si l'on multiplie la différence entre l'arc infini d'une hyperbole équilatère et son asymptote par la longueur du quadrant de la lemniscate correspondante, le produit sera égal à ña2, en désignant par a le demi-axe de l'hyperbole. Cette propriété, déduite par M. Sturm de la théorie des intégrales eulériennes, n'est qu'une conséquence très-simple de la relation bien connue entre les fonctions elliptiques complètes à modules complémentaires, que l'on doit à Legendre, comme je l'ai déjà fait remarquer dans ce Journal. Dans cette Note, je me propose d'étendre le résultat dont il s'agit à une hyperbole quelconque, par un théorème dont voici l'énoncé :

Soit S la différence entre l'arc infini d'une hyperbole, ayant pour équation

et son asymptote, et soit S, la longueur du quadrant de la courbe, lieu des projections orthogonales du centre sur ses tangentes; soient aussi Σ, E, les mêmes choses par rapport à l'hyperbole conjuguée

SS, + 2 Σ, = { π ( 7 — √c2 — b2.s),

en supposant c>b, et en désignant par s un arc de l'hyperbole pre6

Tome XII. JANVIER 1847.

mière, compté du sommet jusqu'au point dont les coordonnées sont

x= =7' x = √c2 = b2.
Б

Pour démontrer cette propriété, rappelons-nous les expressions connues (tome X de ce Journal, page 186) pour S et S, en fonctions elliptiques complètes, savoir,

b2
S = E (c) — b2 F (c), S, = (
II

b

b2

6).

dans lesquelles on prend b2 + c2 pour unité; ce qui donne, en mettant pour la fonction II sa valeur en fonctions de la première et de la seconde espèce,

b

F (c, 0) + F (c, d) = F (c), E (c, 6) + E(c, d) — E(c) = = √c2 — b2,

d'où, en se servant de la relation connue

E (c) F (b) + E(b) F (c) — F (c) F (b) = { π,

résultera l'expression suivante pour S,,

(1) S1 = = F(b) + √c2 — b2 [F (b) E(c, d) + E (b) F (c, d) — F (b) F (c, λ ›3].

D'ailleurs on a, en considérant l'hyperbole conjuguée,

b3

Σ = E(b) — c2 F (b), Σ, C

et, par conséquent,

b3

(2)

Σ1 = = =2 F (c) + √c2 — ba [F(c) E (c, d) — E (c) F (c, d)].

C

Maintenant prenons la somme des deux produits SS, et 22,, ce qui nous donnera

+ √c2 — b2 {[E(c) — b2 F (c)] F (b) + [E (b) — c2 F (b)] F (c)} E (c, d)

b3 { [E (c) — b2 F (c)] F (b) + [E (b) — c2 F (b)] F (c)},

C

ou ce qui est la même chose, comme on s'en assurera sans difficulté,

2

b3

(3)

SS, + Σ Σ, = 1⁄2 π √c2 —— b2 | E (c, d) — b2 F (c, d) +
[E

c √ c 2 — b2

on a, par la formule connue, en se rappelant la valeur de 2.,

2. Il est bon de remarquer que des propriétés comme celle qu'on vient d'indiquer ne sont pas bornées au cas de l'hyperbole et de l'autre courbe dont nous avons parlé. Si l'on considère la courbe lien des projections orthogonales du centre sur les tangentes à cette dernière, et encore les autres qui dérivent successivement de la nouvelle courbe par la répétition de la même construction, on parviendra à reconnaître qu'il existe entre leurs périmètres une variété des relations analogues à celle du no 1.

En effet, en désignant par S, le quadrant de la seconde dérivée de

et par Σ, la même chose pour l'hyperbole conjuguée, on aura, en se rappelant des formules que j'ai déjà données (tome X de ce Journal,

Si l'on y substitue, au lieu des fonctions II leurs valeurs en S, et Σ,, on en déduira, après quelques réductions, à l'aide des expressions pour S

et l'on trouvera, en ajoutant ces équations, après les avoir multipliées respectivement par S, et Σ,,

Or il est aisé de voir, en vertu des équations (1) et (2), que

d'où, par

suite de la valeur de SS, +2, donnée par l'équation (3),

Multiplions encore la première des équations (5) par Σ, la seconde par S, et l'on en tirera facilement

ce qui nous donnera, après avoir mis pour SS, + 22, sa propre valeur,

bc

(7) ΣS, - SΣ, = επ

b2

[b2 F (c, d) — E (c, d) + = √c 2 — b2 |·

3. Considérons encore la troisième dérivée de l'hyperbole

On a, pour la différentielle de son arc (s,), la formule suivante (tome X de ce Journal, page 186):

où la variable r est le rayon vecteur de l'hyperbole. Pour la réduction de cette expression aux formes fondamentales des fonctions elliptiques, rappelons-nous que nous avons, en faisant (r2 + b2) (r2 — c 2) = R,

' (r2 + b2 — c2) dr

VR

√ R