D'après cette remarque, il n'y pas il n'y pas lieu de s'étonner que les développements de certaines fonctions restent convergents, dans le cas où ces fonctions deviennent discontinues, puisqu'en modifiant les conventions admises, on peut quelquefois enlever à une fonction dont » le développement était convergent le caractère de continuité. Pour » rendre plus souvent applicable le théorème sur la convergence des développements, il est évidemment utile d'adopter les conventions qui conservent ce caractère le plus longtemps possible aux fonctions employées dans le calcul. »>

Selon moi, le caractère d'où dépend la continuité est un caractère absolu qu'on n'est point maître de modifier, et qui se conserve intact dans tout système de convention susceptible d'être introduit dans le calcul, sans porter atteinte aux principes fondamentaux. Quoi qu'il en soit, M. Cauchy reconnaîtra, sans doute, qu'en adoptant ma manière de voir, l'on restitue aux fonctions qu'il a choisies pour exemple la continuité dont elles se trouvent dépouillées dans le système de conventions qui lui appartient. Sous ce rapport, et alors même qu'on serait libre d'opérer autrement, il y aurait donc avantage à se conformer aux principes que j'ai développés ci-dessus. Ce n'est point en appliquant ces principes, mais pour s'en étre écarté, que M. Cauchy a introduit. la discontinuité là où, en réalité, elle n'existe point.

Avant de terminer cet article, j'ajouterai quelques mots sur la condition de continuité considérée par rapport aux fonctions dérivées.

Lorsque j'ai dit de cette condition qu'elle pouvait être omise, j'ai entendu exprimer qu'elle devait l'être nécessairement. M. Cauchy fait observer qu'on pourrait à la rigueur se passer de la considération des fonctions dérivées, mais qu'il vaut mieux ne pas l'abandonner entièrement, attendu qu'elle sert, en certains cas, à déterminer le module des

séries.

On sait que les limites entre lesquelles la série de Maclaurin est convergente sont les mêmes pour la fonction que pour l'une quelconque de ses dérivées, et réciproquement. En faisant cette remarque dans mon premier travail sur le théorème de M. Cauchy, j'ai été conduit à observer que, bien que la considération de la dérivée fût superflue et indirecte, il pouvait être quelquefois plus simple d'y recourir. Dans ce cas, la dérivée se substitue à la fonction, et celle-ci

cesse d'exiger aucune vérification directe. En général, le contraire a lieu, c'est-à-dire qu'on opere sur la fonction, sans avoir à s'inquiéter de la dérivée. Les calculs à faire n'étant pas toujours aussi simples qu'il serait désirable, il est bon que l'énoncé du théorème ne laisse aucun doute sur l'inutilité d'une double opération où la fonction et sa dérivée devraient toutes deux intervenir. Il convient, d'ailleurs, au point de vue de la rigueur mathématique, qu'une condition, démontrée surabondante, ne figure point au nombre de celles qui sont réputées nécessaires.

Une observation du même genre m'a été suggérée par la lecture d'un Mémoire [*] cité dans la Note à laquelle je réponds. Après avoir posé l'équation

الر

1x dx

= F(X) - F(xo,

M. Cauchy ajoute:

« Cette équation suppose que la fonction f(x) reste finie et continue >> par rapport à la variable x, depuis la limite x = x, jusqu'à la limite x X.

Je ferai remarquer, comme je l'ai dit ailleurs, que l'équation dont il s'agit suppose, en général, non pas que la dérivée (x), mais bien que la fonction F(x), demeure continue dans l'intervalle que l'on considère.

[*] Voir Comptes rendus des Séances de l'Académie des Sciences, tome XVIII, page 1073.

NOTE

SUR LA THÉORIE DES NORMALES A UNE MÈME SURFACE;

PAR M. J. BERTRAND.

Dans un Mémoire qui fait partie du tome IX de ce Journal, j'ai démontré un théorème qui, combiné avec une formule bien connue d'Euler, définit d'une manière complète la disposition des normales à une mème surface autour d'un point donné. J'ai déduit, comme corollaire de ce théorème, une proposition qui peut être utile, dans certains cas, pour décider si des droites sont ou ne sont pas normales à une même surface:

"Pour que des droites dont la direction est donnée en fonction des >> coordonnées de leur point de départ, soient normales à une série » de surfaces, il faut et il suffit qu'en prenant un point A dans l'es>> pace et la droite AZ qui répond à ce point, si dans le plan normal » à AZ nous menons deux lignes infiniment petites, égales, AB, AC, » se coupant à angle droit, l'angle du plan ZAB avec la normale au >> point B soit égal à l'angle du plan ZAC avec la normale au point C. » Le but de cette Note est de généraliser la proposition précédente et d'établir une relation analogue entre les positions de deux normales menées aux extrémités de deux arcs infiniment petits, égaux, tracés sur la surface à partir du point A et faisant entre eux un angle quelconque donné.

Il est facile d'apercevoir, à priori, qu'une pareille relation doit exister; la position des normales à une surface autour d'un point donné ne dépend, en effet, que de trois éléments, savoir: la direction de l'une des lignes de courbure, et les deux rayons principaux. Or, pour définir la position de deux normales en des points donnés, il faut quatre angles; ces angles ne dépendant que de trois quantités, il doit nécessairement exister entre eux une relation.

Soient A la position d'un point sur une surface, AZ la normale en ce point, AB, AC deux arcs infiniment petits égaux, tracés sur la surface et faisant entre eux un angle 9. On peut définir les normales aux points B et C, par les angles et ' que ces normales font avec les plans ZAB, ZAC, et, par les inclinaisons et de leurs projections sur ces plans avec l'axe AZ. On sait que ces derniers angles et sont proportionnels aux courbures des sections faites dans la surface les par plans ZAB, ZAC; nommons x l'angle de la direction AB avec l'une des lignes de courbure, et r, R les deux rayons de courbure de la surface, enfin ds la valeur commune des arcs AB, AC. Nous aurons, par le théorème connu d'Euler,

D'ailleurs, d'après une formule démontrée dans mon Mémoire sur la théorie des surfaces (tome IX, page 140), on a

Si, entre ces quatre formules, nous éliminons x, R et r, nous obtiendrons la relation cherchée entre les angles , ',, ' et 9. En divisant membre à membre les deux équations (3) et (4), il vient sin [2(x+0)]

sin 2 x

=

D'ailleurs les équations (1) et (2) peuvent se mettre sous la forme

Remplaçons, dans les formules (7) et (8),

et ds sin 2(x+9) puis, dans le résultat, écrivons, au lieu de tang 2x et

de tang 2 (x + 0), leurs valeurs fournies par les formules (5) et (6), il viendra

soustrayant ces deux équations l'une de l'autre et supprimant le facteur ds, les quantités R et r s'éliminent en même temps, et nous avons

Si l'on prend = 90°, on doit avoir q'; ce qui est précisément le théorème que je rappelais en commençant cette Note. La formule (12) peut, par conséquent, être considérée comme une généralisation de ce théorème.

Cette formule (12) peut aussi nous conduire à l'expression générale de la valeur de l'angle q. Si, en effet, nous donnons à une valeur infiniment petite, de, on pourra faire

✪ pouvant être compté à partir d'une direction arbitraire, nous pouvons supposer que ce soit à partir de l'une des lignes de courbure, en sorte que, par la formule d'Euler, on aura

Tome XII. AOUT 1847.

= ds (cos2 + sin30

1

sin'),

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