linéaire ds peut s'exprimer par nos variables a, ẞ de la même manière pour les deux surfaces; la valeur de à étant identique de part et d'autre, le produit RR' devra donc être aussi le même, ce qu'il fallait démontrer.

4. Si, par exemple, une surface est applicable sur un plan, auquel cas elle rentre dans la classe des surfaces qu'on nomme développables, il faudra qu'on ait pour cette surface, comme pour le plan,

C'est de là que M. Gauss tire l'équation aux différences partielles

qui a lieu pour ce genre de surfaces. Mais j'ajoute que, réciproquement, si l'on a

rt-s2 = 0,

la surface sera développable ou applicable sur un plan.

en désignant par des lettres majuscules ce que deviennent les fonctions et lorsqu'on y change le signe de √1.

En posant donc

ọ (a + B √− 1) + ¥ (a + ß √√ − 1 ) = 2 ƒ (a + ß √− i ),

& (a − B √ − 1) + • (a − ẞ √ − 1) = 2F (a — ß √ — 1),

-

expression dans laquelle les deux fonctions se changent l'une dans l'autre lorsqu'on change le signe de √— 1.

quantité qui peut se construire sur un plan par des coordonnées rectangulaires x, Y; d'où l'on conclut que la surface est réellement applicable sur ce plan, les divers éléments ds venant se placer chacun à chacun sur leurs correspondants.

5. Si l'on voulait retrouver cette autre propriété des surfaces développables d'être engendrées par un plan mobile dont l'équation contient un seul paramètre variable, il faudrait intégrer l'équation

et nous en conclurons que x + yf' (p) et sont des fonctions de p. Soit, d'après cela,

?= 3(p), x + y f' (p) = ƒ' (p).

L'intégrale demandée résultera de l'élimination de p entre les deux équations

Ces équations appartiennent toutes deux à des plans, quand on regarde p comme un paramètre; et cela indique déjà que la surface est formée par des lignes droites. Mais, de plus, la seconde équation est la dérivée de la première par rapport à p : donc la surface est l'enveloppe du plan mobile représenté par la première équation.

6. On pourrait encore obtenir une expression simple du produit RR' et démontrer, sans de trop longs calculs, le théorème de M. Gauss, en employant de nouvelles variables dont je vais dire un mot.

La formule générale

ds' Edu2 + 2 Fdudy + Gdv2

se réduit à

ds

= Edu2 + Gdv2,

constante, v

quand les équations u constante sont celles de deux groupes de lignes se coupant à angle droit. Supposons, de plus, que la seconde équation, v = constante, représente toujours des lignes géodésiques, ce qui arrivera, par exemple, dans le second des deux systèmes particuliers de coordonnées que nous avons cités au no 1, et, par conséquent, est applicable à une surface quelconque. Je dis qu'alors le coefficient E est une simple fonction de u, en sorte qu'on peut remplacer f du E par une simple lettre u et écrire VE ds 2

=

du2 + Gdy2.

En effet, les lignes géodésiques sont celles que parcourt un mobile

assujetti à rester sur la surface et qui n'est sollicité par aucune force accélératrice. Il faut donc que les équations

dE
do

soient satisfaites par v = constante. Or cela donne = o, et, par

conséquent, E = fonction de u, puisque la valeur constante de peut d'ailleurs être quelconque. On remarquera en passant, que si l'équation u = constante représentait aussi des lignes géodésiques, on pourrait prendre de même G = 1; l'expression de ds2 se réduirait donc à

ds2 = du2 + dv2,

ce qui ne peut arriver que pour une surface développable. C'est donc un caractère spécial de ces surfaces que deux groupes rectangulaires de lignes puissent y être à la fois géodésiques.

Au contraire, l'équation

ds2 = du2
du2 + Gdo 2

peut être admise pour une surface quelconque, et, en l'employant,

Cette dernière formule (dont M. Gauss s'est beaucoup servi dans son Mémoire) est élégante et commode. Mais c'est assez d'avoir développé ici le calcul de la formule du n° 3, qui a aussi ses avantages, et dont M. Gauss n'a point parlé. Voyez, au surplus, dans le Mémoire de M. Gauss, la démonstration de la formule générale applicable à un système quelconque de variables.

NOTE

Sur la continuité considérée dans ses rapports avec la convergence des séries de Taylor et de Maclaurin;

PAR M. ERNEST LAMARLE,

Ingénieur des Ponts et Chaussées, Professeur à l'Université de Gand.

que

En publiant la Note insérée dans ce Journal (tome XI, pages 129 et suivantes), j'ai eu pour objet de préciser les caractères distinctifs que toute fonction présente selon qu'elle est ou qu'elle n'est pas développable en série convergente, d'après un des types réductibles aux formules de Taylor ou de Maclaurin. M. Aug. Cauchy ayant démontré antérieurement la série de Maclaurin est convergente, tant que le module de la variable reste moindre que la plus petite des valeurs pour lesquelles la fonction ou sa dérivée cesse d'être continue, j'avais remarqué que les termes de cette proposition, souvent mal comprise, se prêtaient à de fausses interprétations. Pour plus de rigueur et de clarté, il me parut utile d'établir nettement que la condition de continuité pouvait toujours être omise en ce qui concerne la dérivée, et qu'elle était, d'ailleurs, insuffisante, à moins qu'elle n'impliquât une certaine périodicité de la fonction.

Selon moi, la continuité proprement dite peut subsister indépendamment de toute périodicité, et il y a avantage à ne point confondre ces deux caractères. Cela posé, j'ai cru devoir énoncer, comme il suit, le théorème en question :

« Toute fonction est développable en série convergente, suivant » la formule de Maclaurin, tant que le module de la variable reste » moindre que la plus petite des valeurs pour lesquelles la fonction

Tome XII. AOUT 1847.

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