Sur un théorème de M. Gauss concernant le produit des deux rayons de courbure principaux en chaque point d'une surface; PAR J. LIOUVILLE. 1. Dans le beau Mémoire intitulé: Disquisitiones generales circa superficies curvas, M. Gauss a fait voir que l'expression du produit RR' des deux rayons de courbure principaux en un point quelconque M d'une surface (produit dont la valeur inverse donne ce qu'il nomme la mesure de courbure en ce point) dépend uniquement de l'expression générale de l'élément linéaire ds qui joint deux points infiniment voisins quelconques de cette surface. Supposons, en effet, les trois coordonnées rectangles x, y, z de chaque point de la surface exprimées au moyen de deux variables indépendantes u, v; et soit ds2 = dx2 + dy2 + dz2 = Edu2 + 2Fdudv + Gdv2, E, F, G désignant des fonctions de u, v. M. Gauss détermine le produit RR' au moyen des trois quantités E, F, G et de leurs dérivées du premier et du second ordre par rapport à u, v. Pour calculer RR', on n'a donc besoin que des coefficients E, F, G, et non des expressions de x, y, z en u, v; de sorte que, si E, F, G ont les mêmes valeurs en u, v pour deux surfaces différentes, le produit RR' sera aussi le même pour ces deux surfaces. Une surface étant donnée, traçons-y deux systèmes de lignes dont l'intersection puisse nous servir à fixer la position des divers points M sur la surface, et prenons pour variables u, v des quantités dépendantes de ces lignes, dont les valeurs restent les mêmes pour les différentes surfaces que l'on peut déduire de la proposée, en la déformant, par une simple flexion, à la manière des surfaces développables qui se déduisent ainsi du plan. Si l'on considère une ligne quelconque sur la surface donnée, et la ligne correspondante sur une autre surface qui en dérive, comme nous venons de l'indiquer, il est clair non-seulement que les éléments des deux lignes seront égaux chacun à chacun, mais encore qu'ils auront tous deux la même valeur en u, fournie par la formule unique ds2 = Edu2 + 2 Fdudy + Gdv2. V. Il y a, du reste, on le conçoit, une infinité de systèmes de variables u, v pour lesquels l'expression de ds2 reste ainsi constante d'une de nos surfaces à l'autre. Par exemple, u et v pourront être les plus courtes distances, mesurées sur la surface donnée par des lignes géodésiques, du point M à deux points fixes A, B; ces distances géodésiques ne changeront pas dans les transformations éprouvées par la surface, et le point M résultera toujours de l'intersection de deux courbes tracées par les extrémités mobiles de deux fils de longueurs constantes ayant A et B respectivement pour extrémités fixes et tendus. sur la surface. On pourrait aussi ne considérer qu'un seul point fixe et prendre pour les variables u et v la longueur de l'arc géodésique AM et l'angle qu'il fait avec un autre arc géodésique fixe AB. L'expression de ds sera, suivant les cas, plus ou moins simple. Il est aisé de voir que l'on aura F = o si u et v sont les paramètres de deux systèmes de lignes orthogonales entre elles, de sorte que la valeur de ds2 se réduit alors à ds2 Edu2 + Gdv2. Nous verrons même qu'on peut arriver à avoir, pour une surface quelconque, E = G, ou E=1. Mais, quel que soit le système de coordonnées ainsi adopté, l'identité d'expression des éléments linéaires correspondants ds suffit à M. Gauss pour en conclure que le produit RR' sera aussi constant aux divers points correspondants de toutes nos surfaces. 2. J'ai dit qu'en choisissant convenablement les variables u, v, on peut supposer le coefficient F réduit à zéro et les deux autres coefficients égaux entre eux. En écrivant a, au lieu de u, v, et désignant par la valeur commune des deux coefficients, on a ainsi la formule ds2 = λ(da2 + df2), qui est beaucoup plus simple, et dont l'emploi permet d'arriver assez facilement au beau théorème concernant le produit RR', que M. Gauss a déduit de calculs très-pénibles. Pour effectuer la réduction dont nous parlons, il faudrait, il est vrai, savoir intégrer une certaine équation différentielle du premier ordre, ou, si l'on vent, trouver le facteur à l'aide duquel on rend son premier membre une différentielle exacte. Mais, pour le but que nous nous proposons ici, on a besoin seulement d'être assuré que la valeur de ds2 est susceptible de la forme indiquée; il n'est pas nécessaire d'avoir effectué le calcul qui doit l'y ramener. Rappelons d'abord en peu de mots comment on prouve qu'il est toujours permis de supposer ds2 = 2 (da2 + dp2). Le second membre de l'équation ds2 Edu2 + 2 Fdudv + Gdy2, qui est du second degré par rapport aux différentielles du, dv, et qui, par sa nature même, doit rester > o tant que l'on n'a pas à la fois duo et dvo, est le produit des deux expressions esssentiellement imaginaires V Soit + le facteur à l'aide duquel la première de ces expresμ+V sions devient une différentielle exacte (on aurait aisément ce facteur si l'on savait intégrer l'équation différentielle 'qu'on obtient en égalant l'expression citée à zéro), et désignons par d (a + ßv− 1) la différentielle résultant de la multiplication par ce facteur; la seconde expression, multipliée par - I, donnera de même la différentielle d (aẞv-1). On aura donc, en multipliant les deux différentielles, d'où (μ2 + v2) ds2 = da2 + dß2, ds2 = λ (da2 + dẞ2), Les deux variables a, ß constituent un genre remarquable de coordonnées sur la surface. Le rectangle dadß manquant dans l'expression ds2 = λ (da2 + dẞ2), les équations représentent deux familles de courbes qui se coupent à angle droit [*], et chaque point M de la surface est déterminé par la rencontre de deux de ces courbes. On sait aussi que les éléments ds", ds' de ces deux [*] Il suffit que le rectangle dzdẞ manque dans l'expression ds = λ (da2 + dẞ2), pour que les courbes déterminées sur la surface par les paramètres a, ẞ se coupent à angle droit. Mais l'égalité des coefficients de da' et dẞ2 donne à ces deux systèmes de courbes orthogonales conjuguées un caractère tout particulier. En supposant les différentielles da, dẞ constantes, on prouve aisément qu'ils divisent la surface en rectangles semblables, et même en carrés si da dß. Cette propriété les distingue de tous les autres. Je confonds avec eux, bien entendu, ceux qu'on en déduirait en remplaçant & par une fonction de a, et ẞ par une fonction de ß, car les lignes («), (ß) resteraient les mêmes. = Au reste, comme il y a une infinité de facteurs qui rendent le premier membre d'une équation une différentielle exacte, il y a aussi une infinité de systèmes de variables a, ß qui donnent ds' = λ (da2 + dß2). En effet, au lieu du facteur μ. +› √—1 qui produit la différentielle d (a+ẞ√1), on peut employer le facteur (a + B √ =T) (μ + » √ I), qui produira la différentielle B en prenant pour a' la partie réelle, et pour ' le coefficient de v dans le second membre, on aura encore ds2 = X' (da'2 + dß'2), ce qu'on peut aisément vérifier. La formule fournit, au surplus, la solution la plus générale du problème proposé. On peut le démontrer comme il suit. Pour que les deux systèmes (a, ß), (a', ß′) donnent ds'λ(da2 + dẞ2) = X' (da'2 + d'2), |