V étant une constante. Pour la réduction de l'expression, dans ce cas,

le signe supérieur ou inférieur étant pris, dans la seconde expression, selon que a, est positif ou négatif (je prends a toujours positif et > a,). Ces réductions faites, l'expression (b) se trouve réduite à

à cause de la valeur qu'on trouve pour l'intégrale définie qui y est contenue [*].

L'expression pour v, dans le second cas, se trouve réduite en série convergente, si l'on substitue pour ch(a—a1)

la série

ɛ—h(a—a,) [I + ɛ−2h (a−x,) + ɛ−4h (a—a,) +.....],

[*] Les intégrales définies (c) et (1) sont des cas particuliers de deux intégrales multiples dont j'ai trouvé les valeurs en cherchant une démonstration de la formule (5), tome X

et puis, pour chaque terme, sa valeur, suivant la formule citée dans le cas (I). On trouve ainsi

De cette expression on déduit facilement la distribution d'électricité sur deux sphères qui se touchent.

» Le cas (I) correspond à deux sphères dont l'une, (a), est en dedans de l'autre, (a). Dans le cas (II), le solide considéré remplit l'espace entier en dehors des deux sphères, et la température est zéro à une distance infinie.

Il y a une interprétation pour le nouveau système de coordon

+

Ө

nées (r,) dans un plan, qui est très-simple. En effet, soient A, A' deux points fixes, et P un point quelconque dont il s'agit d'exprimer la position. Cela peut se faire au moyen de l'angle APA', que j'appelle 6, et de la raison r de AP à AP'. Quand ◊ a une valeur constante, le lieu de P est un cercle qui passe par les points A, A'; et quand r a une valeur constante, le lieu de P est un cercle, dont le centre est dans le prolongement de AA', d'un côté ou de l'autre, suivant que cette valeur est plus grande ou plus petite que l'unité, et qui a la propriété de couper à angle droit tout cercle décrit par les points A, A'.

» Posons maintenant, pour expliquer le second système,

Le lieu de P, quand a une valeur constante, sera tel que, si l'on mène, de A, AD perpendiculaire à A'P, la raison DP AP sera constante, et l'on trouve ainsi que ce lieu est un cercle qui touche en A' une droite perpendiculaire à A'A; et l'on trouve semblablement que le lieu de P, quand a une valeur constante, est un cercle qui touche A'A au point A'. >>

Knock, le 16 septembre 1846.

Depuis que je vous ai écrit la dernière fois, j'ai considéré le probleme de la distribution d'électricité sur le segment d'une couche sphérique infiniment mince, fait par un plan, ce corps étant composé de matière conductrice, et j'ai trouvé, en expression finie, la solution complète, en supposant que le corps possède une quantité donnée d'électricité et que la distribution se fait sous l'influence de masses électriques données. J'avais l'intention de rédiger de suite pour vous un petit Mémoire sur ces recherches, mais j'ai rencontré quelque difficulté dans l'exposition de la méthode suivie, et comme je suis à présent très-occupé (les cours à Glasgow commencent le 1er novembre, et il me faudra beaucoup de préparation), il me faut différer cette tâche. Je me bornerai pour le moment aux énoncés de quelques-uns des résultats.

» Soit S le corps conducteur sur lequel il s'agit de déterminer la distribution. Pour premier cas, soit Q un point en dehors de S, sur la même surface sphérique dont S fait partie, et supposons que S soit mis en communication avec le sol par un fil conducteur infiniment mince (ainsi le potentiel dans S sera toujours zéro, quels que soient les

corps électrisés qui en soient voisins). Il s'agit de déterminer la distribution d'électricité sur S sous l'influence d'une quantité donnée d'électricité négative Q, concentrée au point Q. Je démontre que l'intensité d'électricité a la même valeur aux points voisins des deux côtés de la couche S, et, en dénotant par cette valeur, pour un point quelconque P de S, je trouve

où a, s et r sont les distances du bord de S, du point Q et du point P, à un point C de S qu'on peut appeler son centre, et A est la distance. entre Q et P. Il est remarquable que cette expression ne contient pas le rayon de la sphère dont S fait partie. En supposant que ce rayon soit infini, on a l'expression pour la distribution d'électricité sur un disque circulaire, sous l'influence d'un point dans son plan, qui est, en effet, la même que celle que Green a donnée pour ce cas.

>> Pour trouver la distribution dans le cas de S isolé et électrisé, je remarque que, si la quantité d'électricité sur S est telle que le potentiel qui en résulte a une valeur donnée V, la distribution sur S sera la même que celle qui aurait lieu si S était situé dans l'intérieur d'une couche électrique qui produit le potentiel - V, S étant dans l'état d'un corps qui n'est pas isolé. On peut prendre pour cette couche une sphère concentrique avec celle dont S fait partie; en supposant l'excès du rayon de la première sphère sur le rayon de la seconde infiniment petit, on réduit le problème à la détermination de la distribution sur S, sous l'influence d'une distribution donnée d'électricité sur la sphère dont S fait partie, ce corps S n'étant pas isolé. Ainsi, par intégration, je déduis du résultat donné ci-dessus les expressions

(où f est le diamètre de la sphère dont S fait partie), pour les intensités sur les deux côtés, convexe et concave, de S en un point P. »

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Note au sujet de l'article précédent;

PAR J. LIOUVILLE.

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1. La Lettre de M. Thomson m'a suggéré quelques remarques que je crois devoir présenter ici, parce qu'elles montreront, ce me semble, plus clairement encore toute l'importance du travail dont le jeune géomètre de Glasgow nous a donné un extrait rapide.

Nous résoudrons d'abord le problème suivant :

PROBLÈME. Soient x, y,..., z et ,,..., deux groupes contenant un nombre égal ou inégal de variables, les premières x, y,..., z indépendantes, les autres &,,..., fonctions des premières, en sorte que

y,

§ = ƒ (x, y,..., z), n = F(x, y',..., 2),...,_ $ = 4 (X, Y,..., z); soit encore

p = 4 (x, y,..., z).

Désignons d'ailleurs par ', ',..., S', p' ce que deviennent les fonctions,,...,, p, quand on y remplace x, y,..., z par x', y',..., z'. Cela posé, on demande de déterminer les fonctions f, F,..., 9, 4, de manière à avoir généralement

Pour fixer les idées, nous nous bornerons au cas de trois variables x, y, z, et de trois variables, n, ; et la question sera de vérifier l'équation

(1) (§' — §)2 + (n' — n)2 + (5' — 5)2 = (x' — x') 2 + ( y ' — y')2+ (2′ — 2) 2

p2p'

La même méthode réussirait pour deux groupes x, y,..., z ete, n,..., quelconques. Il n'y aurait de changement que dans quelques détails,