df da et si, dans cette équation (17), on considère M comme représentant les deux valeurs de la constante arbitraire qui se trouve dans son intégrale seront les valeurs des paramètres μ et des surfaces conjuguées et orthogonales de celles que représente l'équation (2 ter). Cette équation se simplifie beaucoup si l'on pose n = p = √1; dß elle devient, en effet, en mettant à la place de M, et l'on aura finalement, pour les valeurs de p, p, v, exprimées équations où les imaginaires n'entrent qu'en apparence, et disparaîtraient en remplaçant cos ay √-1 et sin ay -1 par leurs valeurs Voilà encore un nouveau système triple de surfaces orthogonales, dont la forme conduit à des remarques semblables à celles qui ont été faites précédemment; il est le plus simple parmi tous ceux qui correspondent aux formes des fonctions X, Y, Z, que nous avons considérées dans ce paragraphe. On en obtiendrait d'ailleurs une multitude d'autres, en intégrant complétement l'équation (17); mais les résultats auxquels on est conduit sont extrêmement compliqués. VI. Supposons, en troisième lieu, que les constantes a et b du paragraphe III soient égales et de signes contraires; on aura, pour déterminer X, Y, Z, trois équations semblables, dont la première sera la fonction X déterminée par cette équation est une fonction elliptique identique à la fonction inverse de celle qui représente l'arc de lemniscate: on trouve, en effet, très-simplement, pour équation intégrale de la précédente, xo, X. et métant les trois constantes qui naissent de l'intégration: on peut supposer nulles les deux premières, sans altérer la généralité des résultats; et, si l'on pose et pour l'équation de la première famille du système triple de surfaces orthogonales qui en résultent, (2 quater) p = — d ( x √ ma ) + 1 d ( y √ña) + − λ (z√pa). m n Les équations (4) deviennent alors, en introduisant X, Y, Z à la place de x, y et z, et mettant alors tang nY = a tang mX, tang pZ = ẞ tang mX; μ et seront fonctions de a et ß, et en se rappelant que Pet Q ne contenant que a et ß, celle-ci se décomposera en deux autres qui seront, toutes réductions faites, on trouvera que M et N sont les racines d'une équation du second degré, que l'on devra intégrer en y considérant M comme représentant le quotient des différentielles dß et da; ensuite, on égalera à μ et les deux valeurs de la constante arbitraire résultant de cette intégration mais les calculs qu'il faut exécuter, même dans les cas les plus simples, sont trop compliqués pour offrir quelque intérêt. : VII. Les cas que nous venons d'examiner sont les plus remarquables; on peut d'ailleurs intégrer, dans tous les cas, les équations (9), et en dé duire l'équation de la famille de surfaces p = X + Y + Z, susceptible d'avoir des conjuguées orthogonales. Si l'on considère, en effet, la première des équations (9) X'X" — 2 (X" — a) (X” — b) = = 0, on en déduit, en intégrant une première fois, et désignant par m une constante arbitraire. par suite, on pourra exprimer X et x à l'aide de X", de la manière suivante : on pourra donner aux deux constantes x, et X, telles valeurs déterminées que l'on voudra, et si l'on désigne par F(x, m) la valeur de X, on aura et l'équation (20) X = F(x, m), Y = F(y, n), Z = F(z, p), où m, n, p désignent trois constantes arbitraires, comprend toutes les familles de la forme que nous considérons et qui possèdent des conjuguées orthogonales. Cette équation (20) comprend en particulier les équations (2) des paragraphes IV, V et VI. Il faut pourtant en excepter, ainsi que nous l'avons déjà remarqué, les surfaces cylindriques ou de révolution. ་་་་་་་་་་་་ NOTE AU SUJET D'UN MÉMOIRE DE M. CHASLES; PAR J. LIOUVILLE. ་་་་་་་་་་ A l'occasion de ses belles recherches sur les lignes géodésiques des surfaces du second degré, M. Chasles a donné (tome XI de ce Journal, page 112) deux équations qui appartiennent à une droite tangente à deux surfaces homofocales (a), (a,), et que je me dispense de transcrire ici, supposant que le lecteur ait sous les yeux le Mémoire cité. M. Chasles dit ensuite que « ces équations se transforment en deux équations différentielles, où p, p, v (coordonnées elliptiques d'un point quelconque de l'espace) sont les variables, si l'on remplace >> les cosinus (qu'elles contiennent) par les projections ds, ds', ds" d'un » élément de la droite sur les normales aux trois surfaces (p), (μ), (v), puis ces éléments ds, ds', ds", par leurs expressions connues en p, μ, » v, dp, du, dv. » Mais il est important, je crois, d'ajouter que les deux équations différentielles ainsi obtenues se laissent ramener à un système de deux équations du genre de celles que M. Jacobi nomme abéliennes, en sorte que les considérations géométriques dont M. Chasles s'est servi fournissent les intégrales d'un tel système. De même que dans un plan, où l'on détermine la position des divers points par l'intersection de deux séries de coniques homofocales, l'intégrale fondamentale d'Euler pour les fonctions elliptiques est représentée géométriquement par les droites tangentes à une de ces coniques, de même, dans l'espace, les intégrales du système abélien le plus simple répondent à des droites tangentes à la fois à deux surfaces homofocales (a), (a,). C'est à l'aide de ces droites, auxquelles on avait déjà trouvé de belles et nombreuses propriétés, qu'on étendra aux surfaces du second degré les théorèmes connus pour les coniques concernant le maximum et le minimum du périmètre des polygones inscrits et circonscrits. Je traiterai en détail tous ces questions dans un prochain cahier. |