MÉMOIRE SUR LES SURFACES ORTHOGONALES; PAR M. J.-A. SERRET. I. Dans une Note, publiée au tome précédent de ce Recueil, M. Bouquet, professeur à la Faculté des Sciences de Lyon, s'est proposé de démontrer qu'une famille de surfaces représentée par une équation, où entre un paramètre indéterminé, ne peut pas toujours être considérée comme l'une des familles d'un système triple de surfaces orthogonales. Pour établir cette proposition, M. Bouquet emploie une marche assurément fort simple: il cite des exemples. Il me semble, toutefois, que la démonstration de ce fait résulte naturellement des conditions. analytiques auxquelles satisfont les paramètres des trois surfaces qui composent tout système triple de surfaces orthogonales. Ces trois paramètres vérifient, en effet, les trois équations aux différentielles partielles et, par suite, les quantités p, μ, v semblent déterminées en x, y et z, sauf les arbitraires qui entrent nécessairement dans leur composition. D'ailleurs, si l'on différentie les équations (1) par rapport à x, y, z, autant que possible, et de manière à n'avoir de dérivées que jusqu'à 31 Tome XII JUIN 1847 l'ordre P inclusivement, on aura, en comptant les équations (1), un nombre d'équations marqué par? (P+1)(p+2), et le nombre des déri 2 (p+1) (p+2) (p+3) 3 vées des quantités μ. et v sera -2; pour que l'élimination de ces dérivées soit possible, il faut que le premier nombre surpasse le second, ce qui donue P 6 Ou > 6. Si l'on prend p = 6, on aura alors cent soixante-huit équations entre lequelles on pourra éliminer les dérivées de μ. et au nombre de cent soixante-six, et il restera deux équations aux différentielles partielles du sixième ordre, auxquelles devra satisfaire le paramètre p de toute surface susceptible de faire partie d'un système triple. Cette dernière circonstance de deux conditions auxquelles le paramètre p est assujetti, permet de penser que le nombre des surfaces susceptibles de faire partie d'un système triple pourrait bien être assez limité, et la détermination d'une classe de pareils systèmes n'en présente que plus d'intérêt. Je me propose ici de faire connaître quelques nouveaux systèmes triples de surfaces orthogonales. II. Je ferai voir qu'on peut intégrer les équations (1) si l'on assujettit l'un des paramètres, p par exemple, à être de la forme X, Y, Z étant trois fonctions indéterminées dont la première ne contient que x, la seconde y et la troisième z. M, Bouquet, dans son Mémoire, a montré que ces fonctions devaient satisfaire à une certaine équation de condition, pour que les surfaces représentées par l'équation (2) pussent faire partie d'un système triple; mais la marche indirecte qu'il a suivie ne lui a pas permis de déterminer les surfaces conjuguées, dans le cas où elles existent. Dans l'hypothèse où nous nous plaçons, les équations (1) devien nent, en dénotant les dérivées à la manière de Lagrange, les quantités μ et v, définies par les deux premières des équations (3), seront des fonctions des deux nouvelles variables a et ß; par suite, la troisième équation (3) deviendra En outre, comme et ẞ sont des fonctions de x, y et z, on peut considérer et z comme des fonctions de a, ẞ et x; en sorte qu'il y restera dans l'équation (5) un paramètre indéterminé x, et que cette équation devra être satisfaite indépendamment de x. Les quantités p et devront donc vérifier non-seulement l'équation (5), mais toutes celles que l'on en déduit par la différentiation relative à x seul. En différentiant une première fois par rapport à x, et remarquant que Z' dy Y' dz = X" — Z" dμ dv Z/2 =0, à moins cependant que X' ne soit nul; mais alors l'équation (2) représenterait des surfaces cylindriques, et nous faisons abstraction de ce cas. Si l'on différentie de nouveau, on aura (8) La comparaison des équations (6) et (7) fournit la suivante : X'X" (Y" — Z′′ ) + Y'Y" (Z′′ + 2(Y" Z′′) (Z′′ — X′′) (X” — Y′′) = 0, laquelle exprime la condition pour que les surfaces représentées par l'équation (2) aient des conjuguées orthogonales; c'est la même que M. Bouquet a obtenue par un moyen tout à fait différent, et dont il a déduit la démonstration du théorème qu'il avait en vue. III. On aperçoit assez facilement que l'équation (8) résulte de l'élimination des quantités a et b entre les trois suivantes : les valeurs de a et b, tirées de deux de ces équations, des deux premieres par exemple, ne peuvent contenir z. Pour une raison semblable, elles ne pourront contenir ni y ni x; elles sont donc consantes. D'où résulte ce théorème: Pour que les surfaces (2) fassent partie d'un système triple, il faut et il suffit que les fonctions X, Y et Z satisfassent aux équations (9) qui sont aux différentielles ordinaires, et du troisième ordre, et qui contiennent deux constantes arbitraires a et b. Il n'y a d'exception que dans le cas où deux des trois quantités X", Y", Z" se réduisent à une même constante; si, par exemple, X" = Y′′ = 2C, les deux premières des équations (9) se réduisent à on doit donc faire l'une des quantités a et b égale à c, mais on peut prendre pour l'autre une fonction arbitraire de z, en sorte que la troisième équation (9) donne pour Z une fonction arbitraire de z. C'est ce que l'on aperçoit de suite à l'inspection de l'équation (8), qui est satisfaite quel que soit Z, si l'on a X" Y" 2c. Ce cas particulier ne présente rien de remarquable; deux des trois familles se composent de surfaces de révolution autour de l'un des axes, et la troisième, des plans passant par cet axe: ainsi l'on a pour les trois familles Les équations (9) s'intègrent aisément quels que soient a et b; nous examinerons d'abord le cas où ces deux constantes sont nulles. 01 Y'Y" 2Y"2 = 0, Y"20, Z Z" 2Z"2 = 0. X = X2+1(x - x)", X。, x, et métant les trois constantes naissant de l'intégration; mais on peut négliger les deux premières, dont la première se fondra dans p, et dont la seconde ne produit qu'une modification dans la position des axes: on aura donc X=1(x"), Y et l'équation (2) sera alors (2 bis) p=1(x)+1 (y") +1 (z3), ou, si l'on veut, ou, si l'on veut, p=x"y"z". Les équations (4) sont, dans ce cas, |