semblable faite à l'égard de deux autres systèmes de forces équivalents aux deux premiers, respectivement. Ainsi soient a, a',... et b, b',... les deux systèmes proposés, et A, A',... et B, B',... les deux systèmes équivalents, respectivement, à ces deux-là; on aura Σ tétr. (a, b) = Σ tétr. (A, B). Dans ces sommes, chaque tétraèdre aura le signe + quand l'une des deux forces, vue de l'extrémité de l'autre force, paraîtra tourner dans un sens convenu, et le signe quand cette force paraîtra tourner dans le sens contraire. Démonstration. Dans la somme Σ tétr. (a, b), chaque force a donne lieu à une suite de termes tels que ax (moment de la force b par rapport à a), et dont la somme est a.Σ (des moments des forces b, b',... par rapport à a). Or la somme des moments des forces b, b',... par rapport à la force a est égale à la somme des moments des forces B, B',... qui forment un système équivalent. On peut donc remplacer aΣ (moments des forces b, b',...) par a Σ (moments des forces B, B',...). Il en résulte que C. Q. F. D. Quant aux signes des termes tétr. (a, b), la démonstration indique comment il faut les prendre. Car dans la somme des moments de plusieurs forces par rapport à une droite, on donne le signe + aux moments des forces qui, pour un œil placé à l'extrémité de cette droite, tendront à tourner dans un sens convenu, et le signe des forces qui tendront à tourner dans l'autre sens. aux moments 15. Corollaire. Supposons que les forces b, b',... soient identique ment les mêmes que les forces a, a',..., respectivement; et que A, A', et B, B',... soient aussi deux systèmes identiques: on en conclura que Étant donnés deux systèmes de forces équivalentes, la somme des tétraèdres construits sur les forces du premier système, prises deux à deux comme arétes opposées, est égale à la somme des tétraèdres construits sur les forces du second système, prises aussi deux à deux comme arétes opposées. Ce que nous disons de deux systèmes équivalents s'entend, évidemment, des deux systèmes qui se font équilibre. 16. Il suit de là que: De quelque manière qu'on remplace par deux seules forces un système de forces en nombre quelconque, le tétraèdre construit sur ces deux forces a toujours le méme volume. 17. Ce volume sera nul si les deux forces sont situées dans un mème plan, auquel cas elles formeront un couple ou se réduiront à une seule force. Donc : La coudition géométrique pour qu'un système de forces ait une résultante unique ou se réduise à un couple, est que la somme des volumes des tétraèdres construits sur ces forces, prises deux à deux, comme arétes opposées, soit nulle. 18. Quand les forces se font équilibre, si on les divise en deux groupes, les forces du premier groupe font équilibre aux forces du second. Donc, d'après une remarque ci-dessus, no 15, on peut dire que: Quand des forces se font équilibre, la somme des volumes des tétraèdres construits sur plusieurs de ces forces, prises deux à deux comme arétes opposées, est égale à la somme des volumes des tétraèdres construits sur les autres forces, prises deux à deux comme arétes opposées. 19. Ainsi Quand quaire forces se font équilibre, le volume du tétraèdre construit sur deux quelconques d'entre elles est égal au volume du tétraèdre construit sur les deux autres. Il est aisé de voir que quatre forces qui se font équilibre sont tou jours dirigées suivant les génératrices d'un même mode de génération d'un hyperboloïde à une nappe; ou, en d'autres termes, que toute droite qui s'appuie sur trois d'entre elles, s'appuie nécessairement sur la quatrième [*]. 20. THÉORÈME VI. Quand deux systèmes de forces équivalents sont appliqués à un méme corps solide, si l'on imprime au corps un mouvement infiniment petit, et qu'on fasse le produit de chaque force par le déplacement de son point d'application dans le sens de cette force, la somme des produits relatifs aux forces du premier système sera égale à la somme des produits relatifs aux forces du second système. Soit mm' le déplacement du point d'application de la force a, a.mm'.cos (a, min') sera le terme relatif à cette force dans la somme Σa.mm'.cos (a, mm'). Il s'agit de prouver que cette somme conserve la même valeur numérique quand on remplace les forces a, a',... par un autre système de forces équivalent. Tout mouvement infiniment petit d'un corps solide libre peut être considéré comme produit par deux mouvements simultanés, l'un de rotation autour d'une certaine droite, et l'autre de translation. Soient mu, mu' les deux composantes du mouvement du point m; mu est due à la rotation du corps et a une valeur différente pour chaque point, et mu' est due à la translation et est la mème pour tous les points du corps. La somme des projections des deux éléments mp., mp' sur la force a est égale à la projection de mm'. On a donc mm'cos (a, mm') = my cos (a, mμ) + mμ' cos (a, mμ'). On a donc Σa.mm'.cosa, mm') = La.mu.cos (a, mụ) + mẹ 2 a.cos a, mụ). Nous faisons sortir mu' du signe Σ parce que le mouvement de translation mu' est commun à tous les points du corps. Le terme Σa.cos (a, mμ') exprime la somme des projections de toutes les forces a, a',... sur la droite mu'. Cette somme sera la même pour un autre système de forces [*] Quatre forces qui se font équilibre donnent lieu à diverses autres propriétés qui seront le sujet d'un autre article. 000 équivalent. Il suffit donc de prouver que le terme Σa.mp cos (a, mμ) conserve aussi la même valeur. mp est le déplacement du point m dû à une rotation autour d'une certaine droite. Soient r la perpendiculaire abaissée du point m sur cette droite, et la rotation; on a mμ = rê. Concevons qu'une force représentée en grandeur par s'exerce suivant la droite autour de laquelle a lieu la rotation, re sera le moment de cette force par rapport au point m; le terme a.mp.cos (a, mμ) est donc égal à a Ө (moment de la force relatif au point m) × cos (a, mμ), a (projection du moment de la force sur un plan perpendicu laire à a). Mais cette projection est le moment de la force par rapport à la droite a (LEMME 2, Remarque). On a donc a × (moment de la force par rapport à a), ou On a donc Σa.mu cos (a, mu) = 62 tétr. (a, 6). 6 tétr. (a, 0). Or la somme des tétraèdres construits sur la force et chacune des forces a, a',... reste la même quand on remplace ces forces par d'autres équivalentes. Le théorème est donc démontré. 21. Observation. On peut encore dire que a.(moment de la force par rapport à a) 9.(moment de la force a par rapport à 0), ce qui se voit par le lemme 2. = Et comme la somme des moments des forces a, a',... par rapport à une droite reste constante, pour tout autre système de forces équivalent, on en conclut le théorème énoncé. 22. Principe des vitesses virtuelles. Si les forces a, a',... se font équilibre, on peut les remplacer par deux forces égales et directement opposées; d'où l'on conclut que la somme Σa.mm' cos (a, min' ) est nulle. Ce qui est l'équation des vitesses virtuelles. wwww wwwww NOTE SUR UNE PROPRIÉTÉ MÉCANIQUE DU CERCLE; PAR M. A. RISPAL, Dans le tome IX de ce Journal, page 116, M. O. Bonnet a obtenu une propriété mécanique nouvelle de la lemniscate hyperbolique, en résolvant le problème suivant : « Trouver une courbe AMM', telle que les arcs AM soient parcourus dans le même temps que les cordes correspondantes par des mobiles partant du point A sans vitesse >> initiale et soumis à l'action d'une force dirigée vers un centre >> fixe et proportionnelle à la distance. » Il démontre, en effet, que la courbe demandée est une lemniscate hyperbolique, ce qu'on ne savait auparavant que pour le cas particulier où le centre d'action est situé à l'infini, c'est-à-dire pour le cas d'une force constante en grandeur et en direction, dont M. Serret s'était occupé dans le mème volume, page 28, en rappelant un Mémoire antérieur de N. Fuss [*]. La méthode de Fuss est géométrique et rattache la propriété citée de la lemniscate à une propriété du cercle. Nous allons d'abord montrer que cette méthode peut être étendue au cas général traité par M. Bonnet ; nous donnerons ensuite, et ce sera l'objet principal de cette Note, quelques développements sur la propriété du cercle qui lui sert de base. [*] M. Serret nous a fait observer que le titre qu'il a donné à sa Note: Sur une propriété de la lemniscate découverte par N. Fuss, renferme une inexactitude. Et, en effet, on peut voir au tome IX des Mémoires de l'Académie de Saint-Pétersbourg (c'est le volume pour 1819-1820, la date 1824 que M. Serret cite est celle de la publication), que Fuss, en démontrant cette propriété, ne s'en attribue pas l'invention; il dit qu'elle a été trouvée par le géomètre italien Saladini. Tome XII. JUIN 1847. 29 |