nous ferons coïncider cette formule avec celle de Lagrange, en posant

d'où l'on tire sans difficulté, par la simple différentiation,

La formule que nous venons d'obtenir est précisément celle de La

grange; cherchons maintenant suivant quelle fonction de la vitesse doit varier la résistance du milieu, pour que cette formule puisse être appliquée. On verra, comme plus haut, que, pour cela, on doit avoir

d2 F
= 0,
du do

ou, ce qui revient au même, puisque & est fonction de u,

ou, en égalant à zéro après avoir supprimé le facteur 20 et multiplié par 52,

2 ƒ' (z) + z ƒ” (z) = — 2§2 x' (§);

z et pouvant être considérés comme variables indépendantes, cette équation exige évidemment que l'on ait

m étant une constante. La première de ces équations nous donne

On déterminera k par la condition = o pour u=0.

En sorte que la fonction F se compose d'un terme fonction de la vitesse et de la forme by - c'v2, et d'un terme fonction de la position du mobile, représenté par la valeur de că; c'est-à-dire que la seule loi de résistance du milieu dans laquelle la formule de Lagrange puisse servir à déterminer la force, est précisément celle à laquelle s'appliquait la méthode de Fontaine [*].

[*] Il n'a été question, dans cet article, que du mouvement en ligne droite; mais on sait qu'un mouvement curviligne quelconque peut être assimilé à un mouvement rectiligne, pourvu que l'on remplace la force accélératrice par sa composante, suivant la tangente à la trajectoire.

Monge, dans son Application de l'Analyse à la Théorie des Surfaces et des Courbes (voyez 3e édition, § XIX), démontre que: La surface de la sphère est la seule qui jouisse de la propriété d'avoir pour chacun de ses points les centres de ses deux courbures réunis, et dont l'aire ne soit pas nulle. Pour cela, il exprime que l'équation du deuxième degré

(1)

R2 (rt — s2) + R√1+ p2 + q2 [(1 + p2) t − 2 pqs+ (1 + q2) r]
+ (1 + p2 + q2)2 = 0,

entre les rayons de courbure principaux en un même point d'une surface quelconque, a ses deux racines égales et de même signe. Il obtient ainsi l'équation aux différences partielles secondes de la surface cherchée

(2) [(1+p2)t − 2 pqs + (1+q2)r]2 − 4 (rt — s2) (1 + p2 + q2) = 0.

-

Pour intégrer cette équation, Monge distingue deux cas :

1o. Le cas particulier où l'on aurait les trois équations de condition :

(1+q2)s—pqt=o, (1+p2)s— pqr=0, (1+q2)r− (1+p2) t=0,

dont l'une quelconque est une conséquence des deux autres ;

2o. Le cas général, c'est-à-dire celui où l'on suppose que les diffé

Tome XII. MARS 1847.

7י

rences partielles p, q, r, s et t ne satisfont pas à deux au moins des relations précédentes.

Or, le cas général rentre dans le cas particulier, puisque l'équation (2) se décompose nécessairement dans les deux suivantes :

r (q2 + 1) − t (p2 + 1) = X et sp2 + 1) − pqr = Y ;

En portant ces deux valeurs de s et t dans l'équation (2), et nommant V le premier membre, on a

V (1 + p2)2 = [2r(1 + p2+q2) — 2 pq Y — (1 + p2) X ]2

− 4(1+p2+q2) [r2 (1+p2+q2) — rX (p2 + 1) — Y2 — 2pqrY];

d'où, en développant et réduisant, on déduit aisément

V (1+ p2)=
= x2+4Y2 + (pX + 2qY)2.

Par conséquent, V ne peut être égal à zéro sans que l'on ait

et réciproquement; l'équation (2) équivaut donc au système des deux équations (3). Telle est la véritable explication de ce que M. Charles Dupin appelle une espèce de paradoxe (voyez Développements de Géométrie, page 129), à savoir: Comment la coexistence des deux équations (3) ne dit rien de plus particulier que l'existence de la seule équation (2) entre les mémes variables.

Les équations (3) peuvent se mettre sous la forme connue