MÉMOIRES DE LA SOCIÉTÉ IMPÉRIALE DES SCIENCES,

DE L'AGRICULTURE ET DES ARTS DE LILLE.

NOTE

SUR QUELQUES PROPRIÉTÉS DES COURBES ÉQUIDISTANTES.

Par M. MAHISTRE, Membre résidant.

Séance du 13 avril 1855.

Dans un opuscule qui traite de la Théorie des Escaliers, j'ai démontré que l'aire d'une bande comprise entre une courbe et son équidistante, était donnée par la formule

(1). . . Q = l u — { u3 (p + q′ + q′′ +. . . — 4 — 4′ — 4“ — etc.) 4'

dans laquelle u est la distance constante des deux courbes, mesurée sur une normale commune, et la longueur de la courbe donnée. Les quantités telles que ou sont les arcs de cercle qui servent de mesure aux angles de la fig. 1, et décrits avec l'unité pour rayon. Quant aux normales, elles sont menées par les deux extrémités de la courbe donnée, et par chaque point d'inflexion.

Je ferai d'abord remarquer que la formule (1) trouve son application dans les travaux publics, comme par exemple pour mesurer l'aire d'un terrain qui doit être occupé, soit par un canal, soit par une voie ferrée etc. Mais on peut en déduire une relation remarquable

entre les longueurs 1, l' des deux courbes. En effet, si nous prenons pour courbe donnée la 2.me courbe l', nous auront pareillement

(2)... = l'u — — u3 ( 4 + 4′ + 4"+.. — 9 — q' -- y'' — etc);

Egalant les deux valeurs ci-dessus de , on trouve

Cette formule pourrait servir à calculer la différence de lon· gueur des deux lignes de rails d'une même voie ferrée; car il suffirait pour cela de mesurer sur le plan les angles y, y', "... †, 4', 4“....

Si la courbe donnée est fermée, sans présenter de points singuliers fig. 2, on aura

D'où il suit qu'une courbe fermée quelconque, sans points singuliers, surpasse en longueur son équidistante, d'une quantité égale au double de la circonférence qui aurait pour diamètre la distance des deux courbes.