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ture des deux différentes espèces de spirales ; et l'une est formée par les extrémités des ordonnées d'une parabole ordinaire , dont l'axe serait roulé en cercle ; l'autre est la spirale logarithmique, qui fait toujours le même angle avec ces ordonnées concourantes à son centre. Et comme la courbe appelée loxodromique, décrite par un vaisseau qui suit toujours le même rhumb du vent, fait aussi toujours le même angle avec tous les méridiens , il s'ensuit que, si les méridien's étaient des lignes droites concourantes au pôle , la loxodromique deviendrait la spirale logarithmique. De là Bernoulli prit occasion de passer de la spirale logarithmique å la foxodromique, et découvrit beancoup de choses nouvelles et fort curieuses par rapport aux longitudes et à la navigation.

En ce temps-là , le problème de la chainette qu'il avait proposé, faisait beaucoup de bruit parmi les grands géomètres. C'est la courbure que doit prendre une chaîne attachée fixément par ses deux extrémités, également pesantes en toutes ses par ties, et dont chaque partie est tirée en bas par son propre poids, et en même temps retenue par les points fixes'. Après que Leibwitz, Huyghens et Bernoulli son frère eurent résolu le probleme, et déterminé cette courbure , il prouva en 1692 qu'elle était la même

que celle d'une voile enflée par le vent. Et comme il commençait alors ses recherches et ses découvertes sur la courbure que prendrait une lame à ressort , dont une extrémité serait attachée fixément sur un plan , et l'autre porterait un poids , il fit voir

que, si cette même voile qui, enflée par un vent horizontal, sé courberait en chaînette, était enflée par un liquide qui pesât sur elle verticalement, elle se courberait comme une lame à ressort , ou en élastique, car c'est le nom qu'il donne à cette courbe. Ces déterminations ne sont pas de simples jeux de géométrie , estimables seulement par leur difficulté ; elles peuvent entrer dans des questions délicates de physique ou de mécanique , quand il faudra connaître avec précision l'action des liquides ou

des poids.

Pour épargner un plus long détail des recherches géométriques de Bernoulli, il suffira d'ébaucher ici l'idée de sa théorie des courbes qui roulent sur elles-mêmes. Une courbe quelconque étant proposée , il la conçoit comme immobile , et en même temps il conçoit qu'une autre courbe égale et semblable , c'està-dire la même en espèce , roule sur elle, et appliqué tous ses points aux siens les uns après les autres. En joignant à cette considération celle de la développée qui aurait produit la courbe proposée , non-seulement il tire du roulement de cette courbe sur elle-même une roulette ou cycloïdale décrite à la manière ordinaire par un point fixe de la courbe mobile, mais encore

la caustique par réflexion , et de plus deux courbes , dont il appelle la première antidéveloppée, la seconde péricaustique; et pour se conduire dans ce labyrinthe de courbes différentes, et en déterminer la nature, il n'a besoin que de connaitre la première génératrice de toutes les autres.

Par-là il arriva à une merveilleuse propriété de la spirale logarithmique; c'est que toutes les courbes, ou qui la produisent, ou qu'elle produit de la manière qu'on vient d'expliquer, sa développée, sa caustique , sa cycloïdale, son antidéveloppée , sa péricaustique, sont d'autres spirales logarithmiques égales et semblables en tout à la génératrice. Il est facile de juger qué de pareilles résolutions demandent un grand appareil de géométrie , et doivent être les derniers efforts de l'esprit mathématique.

Ces mêmes roulemens de courbes conduisirent Bernoulli á la découverte des deux formules générales des caustiques par réflexion et par réfraction, qui comprennent deux sections du livre de M. de l'Hôpital, ou plutôt toute la catoptrique et toute la dioptrique. Mais Bernoulli avait supprimé l'analyse des formules , et M. de l'Hôpital en a révélé le mystère.

Toutes ces recherches , et quantité d'autres aussi profondes qu'il faut passer sous silence, ont été exécutées par le calcul des infiniment petits, et pouvait-on mieux en prouver l'excellence, et dans le même temps enseigner l'art de le manier? Aussi cette méthode est-elle devenue celle de tous les grands géomètres sans exception; et quoiqu'elle soit quelquefois épinense , il est infiniment plus aisé d'apprendre à s'en servir, que d'aller loin sans son secours.

Quand l'académie royale des sciences reçut du roi, en 1699, un réglement qui lui laissait la liberté de choisir huit associés étrangers, aussitôt tous les suffrages donnèrent place aux deux frères Bernoulli dans ce petit nombre. L'Electeur de Brandebourg ayant aussi établi à Berlin une académie, sous la direction du célèbre Leibnitz, ils y furent pareillement associés tous deux en 1701. Quoiqu'absens , ils ont satisfait ici à leur devoir d'académiciens par des pièces excellentes et sing dont nos histoires ont été enrichies. On a vu dans celle de 1702 (p. 58), la section infinie des arcs circulaires de Bernoulli de Bâle; dans celle de 1703 (p. 114), sa théorie du centre d'oscillation, et dans celle de cette année on a vu (p. 130), sa nouvelle hypothèse de sa résistance des solides, et l'analyse de la courbe élastique. Il avait déjà donné dans les actes de Leipsick quelque idée, mais imparfaite , de la plapart de ces recherches ; il ne les a envoyées a l'académie, qu'après les avoir mises dans un état à le contenter lui-mêine.

Tandis que le professeur de Bâle se faisait un si grand nom , son cadet, professeur en mathématique à Groningue, ne s'en faisait pas un moins éclatant ; ils couraient tous deux la même carrière, et d'un pas égal. Les savans du premier ordre auraient peine à le devenir , s'ils n'étaient passionnés pour leur science , et possédés par un goût supérieur à tout. Une émulation vive se mit entre les deux frères, fomentée

encore par

leur éloignement, qui les réduisait à ne se parler presque que dans des journaux, et qui était propre à entretenir long-temps entre eux le mal-entendu, s'il en pouvait naître quelqu'un. Enfin, l'aîné ramassant toute sa force, lança , pour ainsi dire, un problême qu'il adressait non-seulement à tous les géomètres , mais aussi à son frère en particulier , lui promettant même publiquement une certaine somme , s'il le pouvait résoudre. Il le résolut, et même assez promptement; mais il donna sa solution sans analyse. Bernoulli de Bâle , qui trouya cette résolution en partie différente de la sienne, demanda à voir l'analyse pour découvrir d'ou pouvait naître la différence des solutions. Mais sur les juges qui devaient examiner cette analyse , et sur quelques autres circonstances du jugement, il survint des diffi- . cultés qui n'ont pas été terminées. Le détail en serait trop long; il suffira que l'on sache que ce problême regardait les figures isopérimètres. Entre une infinité de courbes possibles qui ont la même périmétrie, ou la même longueur, il fallait trouver d'une manière générale celles qui, dans certaines conditions ,

renfermaient les plus grands ou les plus petits espaces, ou en faisant une révolution autour de leur axe produisaient les plus grandes ou les plus petites superficies, ou les plus grands ou les plus petits solides. On peut juger de la difficulté du problême , par l'intention dans laquelle il avait été choisi.

C'est Bernoulli qui a pris soin de l'édition que l'on a faite à Bâle de la géométrie de Descartes. Il était si rempli de ces matières , que les épreuves qu'il avait à corriger ne pouvaient pas lui passer par les mains sans lui faire naître des pensées et des réflexions ; et il embellit l'ouvrage du grand Descartes par des notes, qui, quoique faites à la hâte , tumultuariæ, comme il les appelle, sont très-curieuses et très-instructives.

Ses travaux continuels, causés et par les devoirs de sa place, et par l'avidité de savoir, et par le plaisir du succès, furent apparemment ce qui le rendit sujet à la goutte d'assez bonne heure; et enfin ils le firent tomber dans une fièvre lente , dont il mourut le 16 août de cette année, âgé de cinquante ans et sept mois. Deux ou trois jours avant sa mort, dans le temps des soins les plus sérieux, il pria Herman, son compatriote , son

ami particulier ; et illustre géomètre, de remercier l'académie des sciences de la place qu'elle lui avait donnée dans son corps. A l'exemple d'Archimède qui voulut orner son tombeau de sa plus belle découverte géométrique, et ordonna que l'on y mit un cylindre circonscrit à une sphère , Bernoulli a ordonné que l'on mît sur le sien une spirale logarithmique , avec ces mots : eadem mutatâ resurgo; allusion heureuse à l'espérance des chrétiens, représentée en quelque sorte par les propriétés de cette courbe. Il achevait un grand ouyrage, de arte conjectandi; et quoiqu'il n'en ait rien paru, nous pouvons en donner une idée sur la foi de Herman. Les règles d'un jeu étant supposées, et deux joueurs de la même force, on peut, en quelque état que soit une partie , déterminer par l'avantage qu'un des joueurs a sur l'autre , combien il y a plus à parier qu'il gagnera. Le parti change selon tous les différens états où sera la partie, et quand on veut considérer tous ces changemens, on trouve quelquefois des séries ou suites de nombres réglés, et même nouvelles et singulières. Si l'on suppose les joueurs inégaux, on demande quel avantage le plus fort doit accorder à l'autre; ou réciproquement l'un ayant accordé à l'autre un certain avantage , on demande de combien il est plus fort : et il est à remarquer que souvent les avantages ou les forces sont incommensurables , de sorte que les deux joueurs ne peuvent jamais être parfaitement égalés. Les raisonnemens que ces sortes de matières demandent, sont ordinairement plus déliés, plus fins, plus composés d'un plus grand nombre de vues qui peuvent échapper, et par conséquent plus sujets à erreur que les autres raisonnemens mathématiques. Par exemple , deux joueurs égaux jouant en quatre parties liées, si l'un en a gagné trois et l'autre deux, il faut raisonner assez juste pour déterminer précisément que l'on peut parier trois pour celui qui a les trois parties, et un seulement pour celui

qui en a deux. Ce cas est des plus simples, et on peut juger par-là de ceux qui sont infiniment plus compliqués. Quelques grands mathématiciens , et principalement Pascal et Huyghens, ont déjà proposé ou résolu des problêmes sur cette matière, mais n'ont fait que l'effleurer : et Bernoulli l'embrassait dans une plus grande étendue, et l'approfondissait beaucoup davantage. Il la portait même jusqu'aux choses morales et politiques, et c'est là ce que l'ouvrage doit avoir de plus neuf et de plus surprenant. Cependant si l'on considère de près les choses de la vie sur lesquelles on a tous les jours à délibérer, on

que

la délibération deyrait se réduire, comme les paris que l'on ferait sur un jeu, à comparer le nombre des cas où arrivera un certain événement, au nombre des cas où il n'ar

verra

rivera pas. Cela fait, on saurait au juste , et on exprimerait par des nombres de combien le parti qu'on prendrait serait le meilleur. Toute la difficulté est qu'il nous échappe beaucoup de cas où l'événement peut arriver, ou ne pas arriver; et plus il y a de ces cas inconnus, plus la connaissance du parti qu'on doit prendre paraît incertaine. La suite de ces idées a conduit Bernoulli à cette question : si le nombre des cas inconnus di- . minuant toujours, la probabilité du parti qu'on doit prendre en augmente nécessairement, de sorte qu'elle vienne à la fin à tel degré de certitude qu'on voudra. Il semble qu'il n'y a pas de difficulté pour l'affirmative de cette proposition. Cependant Bernoulli, qui possédait fort cette matière , assurait que ce problême était beaucoup plus difficile que celui de la quadrature du cercle, et certainement il serait sans comparaison plus utile. Il n'est pas si glorieux à l'esprit de géométrie de régner dans la physique, que dans les choses morales, si compliquées, si casuelles, si changeantes; plus une matière lui est opposée et rebelle, plus il a d'honneur à la dompter.

Bernoulli était d'un temperament bilieux et mélancolique , caractère qui donne plus que tout autre, et l'ardeur et la constance nécessaires pour les grandes choses. Il produit dans un homme de lettres une étude assidue et opiniâtre, et se fortifie incessamment par cette étude même. Dans toutes les recherches que faisait Bernoulli , sa marche était lente, mais sûre; ni son génie ni l'habitude de réussir ne lui avaient inspiré de confiance : il ne donnait rien qu'il n'eût remanié bien des fois; il n'avait jamais cessé de craindre ce même public qui avait tant de vénération pour lui.

Il s'était marié à l'âge de trente ans, et a laissé un fils et

une fille.

ELOGE

DE A MONTONS. GUILLAUME

'UILLAUME AMONTONS naquit en 1663 sur le minuit du dernier jour d'août. Il était fils d'un avocat, qui, ayant quitté la Normandie d'où il était originaire , était venu s'établir á Paris. Il étudiait encore en troisième, lorsqu'il lui resta d'une maladie surdité assez considérable, qui le sequestra presque entièrement du commerce des hommes, du moins de tout commerce inutile. N'étant plus qu'à lui-même, et livré aux pensées qui sortaient du fond de la nature, il commença à songer aux

une

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