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choisis avec grand soin pour leur difficulté, et proposés à tous les géomètres dans les actes de Leipsick, lui arrachèrent son secret, et le forcèrent d'avouer au public qu'il était capable de les résoudre.

Le premier fut celui-ci , proposé en 1693 par Bernoulli, professeur en mathématique à Groningue. « Trouver une courbe » telle que toutes ses tangentes terminées à l'axe, soient tou» jours en raison donnée avec les parties de l'axe interceptées » entre la courbe et ces tangentes.

» Il ne fut résolu que par Leibnitz en Allemagne, par Bernoulli en Suisse , frère de celui qui l'avait proposé, par Huyghens en Hollande , et par l'Hôpital en France.

Huyghens avoue dans les actes de Leipsick , que la difficulté du problême l'avait fait d'abord résoudre à n'y point penser; mais qu’une question si nouvelle avait troublé son repos malgré lui, l'avait persécuté sans relâche , et qu'enfin il n'avait pu y résister. On jugera aisément de quel genre pouvait être en matière de géométrie, ce qui paraissait si difficile à Huyghens.

Tous ceux qui savent au moins les nouvelles des sciences, ont entendu parler du célèbre problême de la plus vite descente. Bernoulli de Groningue avait demandé dans les actes de Leipsick, « supposé qu'un corps pesant tombât obliquement à l'horizon , » quelle était la ligne courbe qu'il devait décrire pour tomber » le plus vite qu'il fût possible ? » Car, comme il a été dit dans l'histoire de l'académie des sciences de 1699, p. 67, ce paradoxe assez étonnant était démontré, que la ligne droite , quoique la plus courte de toutes les lignes qui pouvaient être tirées entre les deux points donnés, n'était point le chemin que le corps devait tenir pour tomber en moins de temps. Il était certain d'ailleurs que la courbe en question n'était point un cercle , comme Galilée l'avait cru; et la méprise d'un si grand homme peut servir à faire sentir la difficulté du problême. Bernoulli proposa cette énigme au mois de juin 1696, et donna à tous les mathématiciens de l'Europe le reste de l'année pour y penser. Il vit que ces six mois n'étaient pas suffisans, il accorda encore les quatre premiers de 1697 ; et dans ces dix mois, il ne parut que quatre solutions. Elles étaient de Newton , de Leibnitz, de Bernoulli de Bâle , et du marquis de l'Hôpital. L'Angleterre , l'Allemagne, la Suisse et la France fournirent chacune un géomètre pour ce problême.

On trouve ces mêmes noms à la tête de quelques solutions semblables dans les actes de Leipsick; et ils у

semblent être en possession des connaissances les plus rares et les plus élevées.

On a même rapporté dans l'histoire de 1700 , page 78, un

problême proposé, comme presque tous les autres, par Bernoulli de Groningue, et qui n'a été résolu que par M. de l'Hôpital. II s'agissait « de trouver dans un plan vertical une courbe telle

qu’un corps qui la détruirait, descendant librement, et par » son propre poids, la pressât toujours dans chacun de ses points

avec une force égale à sa pesanteur absolue. » On a tâché de faire sentir alors les différens embarras de ce problême, c'est-àdire sa beauté. Les géomètres d'aujourd'hui ne sont pas aisés à contenter sur les difficultés ; et ce qui a fait sortir Archimede du bain

pour
crier

par

les rues de Syracuse , Je l'ai trouvé, ne serait pas pour eux une découverte bien glorieuse.

L'histoire de l'académie de 1699, p. 95, a parlé encore d'une solution du marquis de l'Hôpital, où peu d'autres auraient pu atteindre. Newton , dans son excellent livre des Principes mathématiques de la philosophie naturelle, a donné la « figure » du solide qui fendrait l'eau, ou tout autre liquide , avec le » moins de difficulté qu'il fût possible. » Mais il n'a point laissé voir par quel art ni par quelle route il est arrivé à déterminer cette figure. Son secret lui a paru digne d'être caché au public. Fatio , géomètre fameux, se piqua de le découvrir, et il envoya à M. de l'Hôpital une analyse imprimée. Elle contenait cinq grandes pages in-4°. , presque toutes de calcul. M. de l'Hôpital, effrayé de la longueur, et paresseux d'une manière nouvelle , crut qu'il aurait plutôt fait de chercher lui-même cette solution. Il l'eut effectivement trouvée au bout de deux jours, et elle était simple et naturelle. C'était là un de ses grands talens. Il n'allait.

pas seulement à la vérité, quelque cachée qu'elle fût ; il y allait par le chemin le plus court. Une espèce de fatalité veut qu'en tout genre les méthodes ou les idées les plus naturelles ne soient pas celles qui se présentent le plus naturellement. On se met presque toujours en trop grands frais pour les recherches qu'on a entreprises, et il y a peu de génies heureusement avares qui n'y fassent que la dépense absolument nécessaire. Ce n'est pas qu'il ne faille de la richesse et de l'abondance

pour

fournir aux dépenses inutiles ; mais il y a plus d'art à les éviter , et même plus de véritable richesse.

Il serait trop long de rapporter ici tous les chefs-d'oeuvre de géométrie dont M. de l'Hôpital et le petit nombre de ses pareils ontem. belli les journaux ou d'Allemagne ou de France. On soupçonnera sans doute que, pour entrer dans ces questions qui leur étaient réservées , ils devaient avoir, outre leur génie naturel, quelque clef particulière qui ne fût qu'entre leurs mains. Ils en avaient une en effet, et c'était la géométrie des infiniment petits, ou. du calcul différentiel , inyentée par Leibnitz , et en même temps

aussi par Newton , et toujours ensuite perfectionnée et par eux, et par Bernoulli, et par M. de l'Hôpital.

L'illustre Huyghens , qui n'était point l'inventeur du calcul différentiel comme Leibnitz, qui ne l'ayạit point employé dans toutes ses études géométriques comme M. de l'Hôpital et Bernoulli, qui était parvenu sans ce secours à des théories très-élevées, et s'était fait une réputation des plus brillantes , qui pouvait , à la manière des autres hommes, et peut-être plus légitimement mépriser ce qu'il ne connaissait point , et traiter d'inutile ce qui ne lui avait

pas

été nécessaire pour ses grands ouyrages, avait jugé cependant, et par le mérite de cette méthode, et par les miracles qu'il en voyait sortir , qu'elle était digne qu'il l'étudiât. Il avait été assez grand homme pour avouer qu'il pouvait encore apprendre quelque chose en géométrie : il s'était adresse à M. de l'Hôpital, qui avait presque la moitié moins d'âge que lui, pour s'instruire du calcul différentiel ; et sans doute ce trait de la vie de M. de l'Hôpital est encore plus glorieux à Huyghens qu'à lui.

Ce n'est pas que Huyghens ne connût déjà par lui-même le pays de l'infini , où l'on est conduit à chaque moment par le calcul différentiel ; il ay ait été obligé de pénétrer jusques-là dans quelques-unes de ses plus subtiles recherches, surtout dans celles qu'il avait faites pour l'invention immortelle de la pendule : car la fine géométrie ne peut aller loin sans percer dans l'infini. Mais il y a bien de la différence entre sayoir en général la carte d'un pays, ou en connaître en particulier toutes les routes, et jusqu'à ces petits sentiers qui épargnent tant de peines aux voyageurs.

Huyghens était alors en Hollande, où il s'était retiré après avoir quitté Paris, et l'académie des sciences , dont il était un des principaux ornemens. Il paraît par beaucoup de lettres de lui, qu’on a trouvées dans les papiers de M. de l'Hôpital, et surtout par celles qui sont des années 1692 et 1693, qu'il consultait à M. de l'Hôpital ses difficultés sur le calcul différentiel ; que quand quelque chose l'arrêtait, il ne s'en prenait pas à la méthode, mais à ce qu'il ne la possédait pas assez ; qu'il voyait avec surprise et avec admiration l'étendue et la fecondité de cet art ; que que côté qu'il tournát sa yue , il en découvrait de nouveaux usages ; qu'enfin, ce sont ses termes , il y concevait un progrès et une spéculation infinie. Il a même déclaré publiquement dans les actes de Leipsick, que sans une équation différentielle, il ne serait pas venu à bout de trouver la courbe, dont les tangentes et les parties de l'axe sont toujours en raison donnée. « Et même, » ajoute-t-il dans les mêmes actes, il faut remarquer dans ce

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de quel

problême une analyse nouvelle et singulière , qui ouvre le » chemin à quantité de choses sur la théorie des tangentes, » comme l'a très-bien observé l'illustre inventeur d'un calcul , » sans lequel nous aurions bien de la peine à être admis dans » une si profonde géométrie. » Il écrivit en même temps à M. de l'Hôpital, qu'il devait à ses enseignemens cette équation diffé rentielle qui lui avait donné le dénouement du problême.

Jusques-là la géométrie des infiniment petits n'était encore qu'une espèce de mystère, et, pour ainsi dire, une science cabalistique renfermée entre cinq ou six personnes. Souvent on donnait dans les journaux les solutions , sans laisser paraître la méthode qui les avait produites; et lors même qu'on la découvrait, ce n'étaient que quelques faibles rayons de cette science qui s'échappaient, et les nuages se refermaient aussitôt. Le public, ou, pour mieux dire, le petit nombre de ceux qui aspiraient à la haute géométrie, étaient frappés d'une admiration inutile qui ne les éclairait point , et l'on trouvait moyen de s'attirer leurs applaudissemens, en retenant l'instruction dont on aurait

dù les payer.

M. de l'Hôpital résolut de communiquer sans réserve les trésors cachés de la nouvelle géométrie , et il le fit dans le fameux livre de l'analyse des infiniment petits qu'il publia en 1696. Là furent dévoilés tous les secrets de l'infini géométrique , et de l'infini de l'infini; en un mot, de tous ces différens ordres d'infinis qui s'élèvent les uns au-dessus des autres, et forment l'édifice le plus hardi que l'esprit humain ait jamais osé imaginer.

Comine il y a des rapports déterminés entre les grandeurs finies, qui sont l'unique objet des recherches mathématiques, et les grandeurs de ces différens ordres d'infinis , on parvient par la voie de l'infini à des connaissances sur le fini, où ne pourrait jamais atteindre toute autre méthode, qui n'aurait pas l'audace, et en même temps l'adresse de manier l'infini. Le livre des infiniment petits fut donc tout brillant de vérités inconnues à la géométrie ancienne , et non-seulement inconnues , mais souvent inaccessibles à cette géométrie. Les anciennes vérités s'y trouvaient comme perdues dans la foule des nouvelles, et la facilité avec laquelle on les voyait naître, faisait regretter les efforts qu'elles avaient autrefois coûtés à leurs inventeurs. Des démonstration's qui par d'autres méthodes auraient demandé un circuit immense, en cas qu'elles eussent été possibles , ou qui même entre les mains d'un autre géomètre instruit de la même méthode , auraient encore été longues et embarrassées, étaient d'une simplicité et d'une brièveté qui les rendaient presque suspectes.

Tel est l'effet des méthodes générales, quand on a une fois su

et

bon ;

les découvrir. On est à la source , et on n'a plus qu'à se laisser aller au cours paisible des conséquences. Une seule règle du livre de M. de l'Hôpital donne des tangentes de toutes les courbes imaginables; une autre , toutes les plus grandes ou plus petites appliquées , ou tous les points d'inflexion et de rebroussement, ou toutes les développées, ou toute la catoptrique à la fois, ou toute la dioptrique. Des traités entiers faits par de grands auteurs , se réduisent quelquefois à quelques corollaires que l'on rencontre en chemin, et qu'on distingue à peine dans la multitude; tout se rapporte à des espèces de systèmes que M. de l'Hôpital a commencé à mettre dans la géométrie , et qui vont y répandre un nouveau jour.

Il y a, surtout en mathématique , plus de bons livres , qu'il n'y en a de bien faits ; c'est-à-dire , qu'on en voit assez qui peuvent instruire , et peu qui instruisent avec une certaine méthode,

pour ainsi dire, avec un certain agrément. C'est bien assez d'avoir une bonne matière entre les mains, on se néglige sur la forme. M. de l'Hôpital a donné un livre aussi bien fait que il a eu l'art de ne faire d'une infinité de choses qu’un assez petit volume ; il y a mis cette brieveté et cette netteté si délicieuse pour l'esprit ; l'ordre et la précision des idées l'ont presque dispensé d'employer des paroles : il n'a voulu que faire penser, plus soigneux d'exciter les découvertes d'autrui , que jaloux d'étaler les siennes.

Aussi cet ouvrage a-t-il été reçu avec un applaudissement universel : car l'applaudissement est universel, quand on peut très-facilement compter dans toute l'Europe les suffrages qui manquent: et il doit toujours en manquer quelques-uns aux choses nouvelles et originales, surtout quand elles demandent à être bien entendues. Ceux qui remarquent les événemens de l'histoire des sciences , savent avec quelle avidité l'analyse des infiniment petits a été saisie par tous les géomètres naissans , à qui l'ancienne et la nouvelle méthode sont indifférentes , et qui n'ont d'autre intérêt que celui d'être instruits. Comme le dessein de l'auteur avait été principalement de faire des mathématiciens , et de jeter dans les esprits les semences de la haute géométrie , il a eu le plaisir de voir qu'elles y fructifiaient tous les jours et que des problêmes réservés autrefois à cenx qui avaient vieilli dans les épines des mathématiques, devenaient des coups d'essai de jeunes gens. Apparemment la révolution deviendra encore plus grande , et il se serait trouvé avec le temps autant de disa ciples qu'il y eût eu de mathématiciens.

Après avoir vu l'utilité dont était son livre des infiniment petits ; il s'était engagé dans un autre travail aussi propre à faire

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