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fois, etc. plus grande : les infinis peuvent donc avoir entre eux les rapports des nombres.

Si enfin je conçois que la première ordonnée de l'hyperbole soit devenue égale à l'asymptote, le parallelogramme circonscrit est un carré infiniment plus grand que l'espace asymptotique infini, ce qui fait voir et la nécessité et la réalité des différens ordres d'infini ; car dès qu'on en tient deux, on voit assez qu'il n'y a plus de bornes.

Ces différens ordres, dont l'ordre du fini est le premier et le plus bas, sont véritablement incomparables; c'est-à-dire , qu'une grandeur de l'un n'est rien par rapport à une grandeur de l'ordre supérieur, non dans le sens qu'un grain de sable ne serait rien par rapport à un globe dont la distance du Soleil à Sirius serait le rayon, mais dans un sens infiniment plus rigoureux ; car ce grain de sable et ce globe sont du même ordre, puisque ce globe n'est certainement pas infini , ou plus grand que toute grandeur finie.

Je ne vois pas qu'on puisse rompre en aucun endroit cette chaine de conséquences qui naissent si simplement et si naturellement de la propriété incontestable de l'espace hyperbolique ; elles naîtraient de même de plusieurs autres vérités démontrées en géométrie : et par conséquent ne pas recevoir l'infini tel qu'on vient de le représenter , et avec toutes ses suites nécessaires, c'est rejeter des démonstrations géométriques ; et qui en rejète une, les doit rejeter toutes.

Mais si la certitude est entière , il semble l'évidence ne le soit pas ; par exemple, un infini moindre qu'un autre a beau être démontré, il paraît toujours enfermer une contradiction. Cet infini moindre est nécessairement limité par rapport au plus grand , et dès qu'il est limité , il n'est plus infini; mais il faut prendre garde que cette contradiction apparente vient de l'idée d'un autre infini que celui qu'on a posé.

Nous avons naturellement une certaine idée de l'infini, comme d'une grandeur sans bornes en tout sens, qui comprend tout, hors de laquelle il n'y a rien, On peut appeler cet infini métaphysique ; mais l'infini géométrique, c'est-à-dire , celui

que

la géométrie considère, et dont elle a besoin dans ses recherches, est fort différent; c'est seulement une grandeur plus grande que toute grandeur finie , mais non pas plus grande que toute grandeur. Il est visible que cette définition permet qu'il y ait des infinis plus petits ou plus grands que d'autres infinis, et que celle de l'infini métaphysique ne le permettrait pas. On n'est donc pas en droit de tirer de l'infini métaphysique des objections cons tre le géométrique, qui n'est comptable que de ce qu'il renferme,

que

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i'y porte une obscurité nouvelle, un paradoxe inoui , qui est exposé dans la section 3, et qui ensuite se retrouve souvent dans tout l'ouvrage; mais si ce paradoxe est vrai, s'il suit nécessairement de la nature de l'infini , je la fais mieux connaître , j'en fais mieux connaître les propriétés , qui , quoiqu'obscures, sont la source de tout ce que le calcul nous donne de plus étonnant; on arrivera aux plus grandes merveilles bien préparé, et sans cette espèce de surprise , qui, dans le fond , n'est point honorable à une vraie science. C'est toujours un degré de lumière , que de voir sûrement à quel principe , fût-il peu connu, tiennent certains effets. Ainsi , quand les physiciens ont demandé comment se fait la génération perpétuelle des plantes et des animaux, qui sont des corps d'une organisation si admirable et si constante, ceux qui ont dit que ces corps sont déjà tout formés de la main du souverain Être dans les graines ou dans les eufs, et qu'ils ne font que se développer , ont apporté dans la physique une connaissance nouvelle et utile, accompagnée qu'elle est de difficultés embarrassantes; elles ne font pas abandonner le principe, et on se contente d'admirer. Je remarquerai, en passant, que, dans cet exemple même, la principale difficulté vient de l'infini.

Ceux qui ont le plus traité l'infini géométrique ne l'ont fait jusqu'à présent qu'avec un reste de timidité , qui les a empêchés de l'approfondir autant qu'ils le pouvaient. Il m'a semblé qu'au point ou l'on en était venu , cette timidité n'était plus guère de saison, et que ma témérité serait excusable , si je tâchais d'avancer encore de quelques pas, pourvu que je suivisse exactement les routes déjà ouvertes. Il s'est offert à moi une infinité de nouveaux infinis ignorés et cependant importans ; et en général l'infini s'étend beaucoup plus qu'il ne faisait sur toute la géométrie , ne fût-ce que par cette seule raison que c'est lui qui fait les incommensurables, dont le nombre est infiniment plus grand que celui des commensurables. On rapporte qu'il y a dans les Pays-Bas de grandes étendues de terres qui ont été couvertes par la mer, et dont il ne reste que quelques pointes de clochers éparses çà et là, qui sortent de l'eau. C'est ainsi à peu près que l'Océan de l'infini a abîmé tous les nombres et toutes les grandeurs , dont il ne reste que les commensurables que nous puissions connaître parfaitement. Huyghens , qui était du moins autant homme d'esprit que grand géomètre, a dit en quelques endroits de son Cosmothéoros , qu'il soupçonnait que tout notre calcul ne roulait

que sur les commencemens des suites des nombres. Wallis a cru aussi que tous nos signes radicaux ne suffiraient pas pour exprimer certains nombres qu'il entrevoyait, plus singuliers et

de

plus incommensurables que les incommensurables ordinaires. Il y a bien de l'apparence qu'il entrerait de l'infini dans ces nombres de Wallis.

Quand une science, telle que la géométrie , ne fait que naître, on ne peut guère attraper que des vérités dispersées qui ne se tiennent point , et on les prouve chacune à part comme l'on peut , et presque toujours avec beaucoup d'embarras. Mais quand un certain nombre de ces vérités désunies ont été trouvées, on voit en quoi elles s'accordent , et les principes généraux commencent à se montrer , non pas encore les plus généraux qu les premiers; il faut encore un plus grand nombre de vérités pour les forcer à paraître. Plusieurs petites branches que l'on tient d'abord séparément, menent à la grosse branche qui les produit; et plusieurs grosses branches mènent enfin au tronc. Une des grandes difficultés que j'aie éprouvées dans la composition de cet ouvrage, a été de saisir le tronc, et plusieurs

grosses

branches m'ont paru l'être qui ne l'étaient

pas.
Je ne suis

pas

sûr de ne m'y être pas encore trompé : mais enfin quand j'ai eu pris l'infini pour le tronc , il ne m'a plus été possible d'en trouver d'autre, et je l'ai vu distribuer de toutes parts, et répandre ses rameaux avec une régularité et une symétrie qui n'a pas peu servi à ma persuasion particulière.

Un avantage d'avoir saisi les premiers principes, serait que l'ordre se mettrait partout presque de lui-même ; cet ordre qui embellit tout , qui fortifie les vérités par leur liaison , que ceux à qui on parle ont droit d'exiger, et qu'on ne peut leur refuser sans une espèce d'injustice, surtout si on sacrifie leur commodité à la gloire de paraître plus profond. De plus, les démonstrations qui ne sont pas tirées des premiers principes, ne vont guère au but que par de longs et fatigans circuits. On ne sait presque plus d'où l'on est parti, on ne sait par où l'on a passé. Mais si on a pu remonter à la vraie nature des choses, les démonstrations en naissent

presque immédiatement et en foule; il arrive rarement qu'il y ait bien loin des conclusions aux principes , et que l'on ne puisse pas embrasser d'un coup d'oeil tout le chemin qu'on a fait. Enfin ce qui n'est pas pris dans ces premières sources, manque assez souvent d'une certaine clarté. On se sert des rayons des développées pour-mesurer la courbure des courbes : mais parce que ces rayons ne sont qu'un indice de la courbure et non pas ce qui la fait, quand on trouve une courbure infinie, on ne peut en prendre selon cette théorie aucune idée nette. Le vrai est simple et clair ; et quand notre manière d'y arriver est embarrassée et obscure, on peut dire qu'elle mène au vrai, et n'est pas yraie.

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Le calcul n'est guère , en géométrie, que ce qu'est l'expérience en physique; et toutes les vérités produites seulement par le calcul, on les pourrait traiter de vérités d'expérience. Les sciences doivent aller jusqu'aux premières causes , surtout la géométrie , ou l'on ne peut soupçonner, comme dans la physique ; des principes qui nous soient inconnus. Car il n'y a dans la géométrie,

, pour ainsi dire, que ce que nous y avons mis ; ce ne sont que les idées les plus claires que l'esprit humain puisse former sur la grandeur, comparées ensemble, et combinées d'une infinité de façons différentes : au lieu que la nature pourrait bien avoir employé dans la structure de l'univers quelque mécanique qui nous échappe absolument. Que si cependant la géométrie a toujours quelque obscurité essentielle qu'on ne puisse dissiper , et ce sera uniquement, à ce que je crois, du côté de l'infini, c'est que de ce côté-là la géométrie tient à la physique, à la nature intime des corps que nous connaissons peu, et peut-être aussi à une métaphysique trop élevée, dont il ne nous est permis que d'apercevoir quelques rayons.

Si l'on fait l'honneur à ce livre de l'attaquer, et que ce soit par des endroits qui me sont communs avec les géomètres partisans de l'infini , je me reposerai de ma défense sur leur autorité, et ne me mêlerai point de soutenir leur sentiment qu'ils soutiendraient mieux que moi. Si on m'attaque par des endroits qui me soient particuliers , je demande en grâce qu'on ne les ait point jugés du premier coup-d'oeil, qu'on ne les prenne qu'accompagnés de tout ce qui les appuie ou les favorise ; en un mot, qu'on rompe absolument la liaison qu'ils in'ont paru avoir avec les principes reçus; et je reconnaîtrai mon erreur, sans chercher de vains subterfuges. J'en dis autant de toute autre espèce de fautes où je serai tombé sans m'en apercevoir : ce qui n'est que trop possible dans un assez grand ouvrage, que j'ai toujours craint qui ne fût au-dessus de mes forces , et que j'ai supprimé long-temps par cette raison.

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