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impénétrables avant lui. Mais, comme il s'appliquait principalement à la résolution des égalités , il ne fit d'attention aux courbes qu'autant qu'elles lui pouvaient servir à en trouver les racines , de sorte que l'analyse ordinaire lui suffisant pour cela , il ne s'avisa point d'en chercher d'autre. Il n'a pourtant pas laissé de s'en servir heureusement dans la recherche des tangentes , et la méthode qu'il découyrit pour cela lui parut si belle, qu'il ne fit point difficulté de dire que ce problème était le plus utile et le plus général , non-seulement qu'il sút, mais même qu'il eut jamais désiré de savoir en géométrie.

Comme la géométrie de Descartes avait mis la construction des problêmes par la résolution des égalités fort à la mode, et qu'elle avait donné de grandes ouvertures pour cela, la plupart des géomètres s'y appliquerent; ils y firent aussi de nouvelles découvertes , qui s'augmentent et se perfectionnent encore tous les jours.

Pour Pascal, il tourna ses vues de tout un aụtre côté. Il examina les courbes en elles-mêmes, et sous la forme de polygones ; il rechercha les longueurs de quelques-unes, l'espace qu'elles renferment, le solide que ces espaces décrivent, les centres de gravité des unes et des autres, ete. ; et par la considération seule de leurs élémens, c'est-à-dire des infinimens petits , il découvrit des méthodes générales, et d'autant plus surprenantes , qu'il ne paraît y être arrivé qu'à force de tête et sans analyse.

Peu de temps après la publication de la méthode de Descartes pour les tangentes, de Fermat en trouva aussi une , que Descartes a enfin avoué lui-même être plus simple, en bien des rencontres, que la sienne. Il est pourtant vrai qu'elle n'était pas encore aussi simple que Barrow l'a rendue depuis, en considérant de plus près la nature des polygones , qui présentent paturellement à l'esprit un petit triangle fait d'une particule de courbe, comprise entre deux appliquées infiniment proches, de la différence de ces deux appliquées, et de celle des coupées correspondantes ; et ce triangle est semblable à celui qui se doit former de la tangente, de l'appliquée, et de la sous-tangente; de sorte que, par une simple analogie, cette dernière méthode épargne tout le calcul que demande celle de Desa cartes, et que cette méthode elle-même demandait auparavant.

Barrow n'en demeura pas là ;; il inventa aussi une espèce de calcul propre à cette méthode ; mais il lui fallait , aussi-bien que dans celle de Descartes, ôter les fractions, et faire évanouir tous les signes radicaux pour s'en servir.

Au défaut de ce calcul , est survenu celui du célèbre

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Leibnitz , et ce savant géomètre a commencé où Barrow et les autres avaient fini. Son calcul l'a mené dans des pays jusqu'ici inconnus, et il y a fait des découvertes qui font l'étonnement des plus habiles mathématiciens de l'Europe. MM. Bernoulli ont été les premiers qui se sont aperçus de la beauté de ce calcul ; ils l'ont porté à un point qui les a mis en état de surmonter des difficultés qu'on n'aurait jamais osé tenter auparavant.

L'étendue de ce calcul est immense : il convient aux courbes mécaniques comme aux géométriques ; les signes radicaux lui sont indifférens , et même souvent commodes; il s'étend à tant d'indéterminées qu'on voudra ; la comparaison des infiniment petits de tous les genres lui est également facile. Et de la naissent une infinité de découvertes surprenantes par rapport aux tangentes tant courbes que droites, aux questions de maximis et minimis, aux points d'inflexion et de rebroussement des courbes, aux développées , aux caustiques , par réflexion ou

réfraction , etc. , comme on le verra dans cet ouvrage. Je le divise en dix sections. La première contient les principes du calcul des différences. La seconde fait voir de quelle maniere l'on s'en doit servir pour trouver les tangentes de toutes sortes de courbes , quelques nombres d'indéterminées qu'il y ait dans l'équation qui les exprime , quoique Craige n'ait pas cru qu'il pût s'étendre jusqu'aux courbes mécaniques ou transcendantes. La troisième , comment il sert à résoudre toutes les questions de maximis et minimis. La quatrième , comment il donne les points d'inflexion et de rebroussement des courbes. La cinquième en découvre l'usage pour trouver les développées de Huyghens dans toutes sortes de courbes. La sixième et la septième font voir comment il donne les caustiques, tant par réflexion que par réfraction, dont l'illustre Tschirnhaus est l'inventeur, et pour toutes sortes de courbes encore. La huitième en fait voir encore l'usage pour trouver les points de lignes courbes qui touchent une infinité de lignes données de position, droites ou courbes. La neuvième contient la solution de quelques problemes qui dépendent des découvertes précédentes. Et la dixième consiste dans une nouvelle manière de se servir du calcul des différences pour les courbes géométriques ; d'ou l'on déduit la méthode de Descartes et Hudde , laquelle ne convient qu'à ces sortes de courbes.

Il est à remarquer que dans les sections 2, 3, 4,5,6,7,8, il n'y a que très-peu de propositions ; mais elles sont toutes générales , et comme autant de méthodes dont il est aisé de faire l'application à tant de propositions particulières qu'on voudra : je la fais seulement sur quelques exemples choisis, persuadé

qu'en fait de mathématique, il n'y a à profiter que dans les méthodes , et que les livres qui ne consistent qu'en détails ou en propositions particulières, ne sont bons qu'à faire perdre du temps à ceux qui les font et à ceux qui les lisent. Aussi n'ai-je ajouté les problemes de la section neuvième , que parce qu'ils passent pour curieux, et qu'ils sont très-universels. Dans la dixième section, ce ne sont encore que des méthodes que

le calcul des différences donne à la manière de Descartes et Hudde; et si elles sont si limitées, on voit par toutes les précédentes , que ce n'est pas un défaut de ce calcul, mais de la méthode cartésienne à laquelle on l'assujettit. Au contraire, rien ne prouve mieux l'usage immense de ce calcul, que toute cette variété de méthodes ; et, pour peu d'attention qu'on y fasse l'on verra qu'il tire tout ce qu'on peut tirer de celle de Descartes et Hudde , et que la preuve universelle qu'il donne de l'usage qu'on y fait des progressions arithmétiques, ne laisse plus rien à souhaiter

pour

l'infaillibilité de cette dernière méthode. J'avais dessein d'y ajouter encore une section, pour faire sentir aussi le merveilleux usage de ce calcul dans la physique , jusqu'à quel point de précision il la peut porter, et combien les mécaniques en peuvent tirer d'utilité ; mais une maladie m'en a empêché : le public n'y perdra pourtant rien , et il l'aura quelque jour , même avec usure.

Dans tout cela, il n'y a encore que la première partie du calcul de Leibnitz, laquelle consiste à descendre des grandeurs entières à leurs différences infiniment petites , de quelque genre qu'ils soient : c'est ce qu'on appelle calcul différentiel. Pour l'autre partie , qu'on appelle calcul intégral, et qui consiste à remonter de ces infiniment petits aux grandeurs et aux tous dont ils sont les différences , c'est-à-dire à en trouver les sommes, j'avais aussi dessein de le donner. Mais Leibnitz m'ayant écrit qu'il y travaillait dans un traité qu'il intitule de scientia Infiniti , je n'ai eu garde de priver le public d'un si bel ouvrage, qui doit renfermer tout ce qu'il y a de plus curieux pour la méthode inverse des tangentes ,, pour les rectifications des courbes , pour la quadrature des espaces qu'elles renferment, pour celle des surfaces des corps qu'elles décrivent, pour la dimension de ces corps, pour la découverte des centres de gravité, etc. Je ne rends même ceci public, que parce qu'il m'en 4 a prié par ses leitres, et que je le crois nécessaire pour préparer les esprits à comprendre tout ce qu'on pourra découvrir dans la suite sur ces matieres.

Au reste, je reconnais devoir beaucoup aux lumières de MM. Bernoulli, surtout à celles du jeune, présentement pro

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fesseur à Groningue; je me suis servi sans façon de leurs découvertes et de celles de Leibnitz. C'est pourquoi je consens qu'ils en revendiquent tout ce qu'il leur plaira, me contentant de ce qu'ils voudront bien me laisser.

C'est encore une justice due au savant Newton, et que Leibnitz lui a rendue lui-même, qu'il avait aussi trouvé quelque . chose de semblable au calcul différentiel , comme il paraît par

l'excellent livre intitulé : Philosophiæ naturalis principia mathematica , qu'il nous donna en 1687, lequel est presque tout de ce calcul. Mais la caractéristique de Leibnitz rend le sien beaucoup plus facile et plus expéditif, outre qu'elle est d'un secours merveilleux en bien des rencontres.

Comme l'on imprimait la dernière feuille de ce traité, le livre de Nieuwentyt m'est tombé entre les mains. Son titre, analysis Infinitorum , n'a donné la curiosité de le parcourir; mais j'ai trouvé qu'il était fort différent de celui-ci : car, outre que cet auteur ne se sert point de la caractéristique de Leibnitz, il rejette absolument les différences secondes, troisièmes , etc. Comme j'ai bâti la meilleure partie de cet ouvrage sur ce fondement, je me croirais obligé de répondre à ses objections, et de faire voir combien elles sont peu solides , si Leibnitz n'y avait déjà pleinement satisfait dans les actes de Leipsick. D'ailleurs les deux demandes ou suppositions que j'ai faites au commencement de ce traité, et sur lesquelles seules il est appuyé, me paraissent si évidentes, que je ne crois pas qu'elles puissent laisser aucun doute dans l'esprit des lecteurs attentifs. Je les aurais même pu démontrer à la manière des anciens , si je ne me fusse proposé d'être court sur les choses qui sont déjà connues et de m'attacher principalement à celles qui sont nouvelles

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DES ÉLÉMENS
DE LA GÉOMÉTRIE

DE L'INFINI.

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Les premiers géomètres n'avaient encore fait que très-peu de chemin, lorsqu'ils s'aperçurent que le côté d'un carré et sa diagonale étaient incommensurables, c'est-à-dire , que quelque grandeur que l'on pût prendre pour être la mesure exacte de l'une de ces deux lignes , elle ne pouvait jamais être la mesure exacte de l'autre. De la naissaient les nombres incommensurables ou irrationnels, qui se trouvaient en une quantité sans comparaison plus grande que les nombres rationnels et ordinaires ; et parce qu'on voyait bien qu'ils étaient d'une nature particulière, mais absolument inconnue , les anciens les évitaient avec beaucoup d'art dans la solution des problèmes, et ne les y admettaient point. Cependant on les reçoit aujourd'hui sans difficulté, et les solutions qu'ils fournissent sont parfaitement légitimes. Ce n'est pas qu'on les connaisse mieux : mais on s'est familiarisé avec eux à force d'en rencontrer; ils ont vaincu par leur foule, et par leur opiniâtreté à se présenter presque partout. - Je crois avoir prouvé dans ce livre, que les nombre irrationnels ne le sont que parce que l'infini entre nécessairement dans leur nature ; mais comme la manière dont il y entre n'est nullement apparente, et qu'elle n'avait point été aperçue , c'était l'infini que l'on rencontrait dès la naissance de la géométrie, si déguisé et si enveloppé, qu'on n'en avait aucun soupçon.

Les anciens ont vu que dans l'angle de contingence, formé par la circonférence d'un cercle, et par sa tangente , il ne pouvait passer aucune ligne droite qui le divisât. C'est là un angle infiniment petit, et l'infini commence à s'y découvrir un peu , au lieu qu'il ne se découvrait nullement dans les incommensurables. Aussi l'angle de contingence était une merveille incompréhensible, et l'on n'eût pas pu expliquer comment aucune ligne droite n'y pouvant passer, il y passait tant de circonférences circulaires qu'on voulait, toujours plus grandes que

la

première. Archimède n'a trouvé le rapport approché du diamètre du cercle à la circonférence, qu'en prenant l'idée du cercle confondu avec un polygone d'une infinité de côtés , et ce rare génie perçait déjà dans l'abîme de l'infini.

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