avec lui. Deux points imaginaires sont d'ailleurs conjugués quand la première composante de l'un est la seconde composante de l'autre et réciproquement. Telles sont les définitions nouvelles que je propose d'introduire d'abord en géométrie puis en algèbre, afin d'achever la réforme si heureusement commencée par Descartes.

Comment ces définitions permettent-elles de rattacher intimement la géométrie supérieure à l'analyse ancienne? ce n'est pas ici le lieu de le dire. Mais quel usage en peut-on faire pour élucider les principes d'algèbre? c'est ce que je vais indiquer rapidement en rendant compte de la manière dont je termine la seconde partie de ce mémoire.

De la conception des points de modes contraires je passe sans peine à celle de droites réelles, imaginaires ou mixtes; puis, je définis l'égalité et la somme de deux droites quelconques et j'en conclus la possibilité de soumettre ces grandeurs à toutes les opérations élémentaires. J'exprime ensuite les droites de chaque mode par des symboles convenables appelés les uns nombres réels, les autres nombres imaginaires et je fais découler les règles relatives à ces nombres des opérations effectuées sur les grandeurs mêmes qu'ils représentent. Étant parvenu de la sorte à considérer des proportions géométriques soit entre des droites quelconques, soit entre les nombres qui les expriment, je montre comment. ces proportions conduisent aux équations du premier ou du second degré à une inconnue; puis je prouve que réciproquement la ré solution de toute équation de degré moindre que le troisième se ramène à la recherche soit d'une quatrième proportionnelle à trois droites, soit d'une moyenne proportionnelle entre deux droites de modes quelconques; et, comme les équations des deux premiers degrés servent à former toutes les autres, il faut bien en conclure que celles-ci n'admettent pas d'autres solutions que les nombres réels, imaginaires ou mixtes, tels que je les ai définis. L'algèbre, sans raisonner sur d'autres grandeurs que des droites, se trouve donc par là complétement affranchie des êtres de raison et des règles conventionnelles qui, selon l'expression de Descartes, en faisaient un art confus et obscur. Mais là ne se bornent pas les avantages que présente l'emploi des droites, de modes quelconques. Celles-ci peuvent en effet remplir l'office de coordonnées rectilignes,

et, à ce titre, elles permettent non-seulement de construire d'une manière complète le lieu d'une équation à deux ou trois variables, mais encore de déterminer graphiquement et par des procédés uniformes toutes les racines d'une équation à une seule inconnue: ce qui forme comme le couronnement de la géométrie cartésienne. Si j'ajoute enfin que ces mêmes droites se prêtent aussi bien à l'étude des fonctions hyperboliques qu'à celle des fonctions circulaires, et qu'elles paraissent devoir soutenir la concurrence avec les quantités complexes, soit pour l'interprétation des périodes des intégrales, soit dans la recherche des propriétés des fonctions, j'aurai, je pense, fait assez pressentir l'étendue des services qu'elles sont appelées à rendre en algèbre.

Addition.

Soustraction.
Nombres de

nombres entiers. L'algèbre exprime les propriétés de la grandeur continue à l'aide de fonctions du nombre entier. Opérations successives. Droites positives et négatives. signes contraires. Addition algébrique. Somme algébrique de droites. Polynomes. Soustraction algébrique. Reste et Rapport par différence. Proportions et Progressions arithmétiques. Multiplication. Division. Fractions. Opérations successives.

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Nombres incommensurables. Multiplication algébrique. Division algebrique. Quotient et Rapport par quotient. Proportions et progressions géométriques. Impossibilité de trouver une moyenne proportionnelle entre deux droites de sens contraires. Définition des points réels et imaginaires. Droites de modes quelconques. Opérations qu'elles comportent. Conséquences qui en résultent pour le calcul des nombres imaginaires. Moyens égaux ou symétriques entre deux droites quelconques. Puissances. Racines. Opérations successives. Puissances et racines algébriques. Formules générales et équations. — Les solutions des équations algébriques ne sont autres que les nombres réels ou imaginaires définis précédemment. Examen de quelques problèmes de géométrie résolus par l'algèbre. —- Conversion des droites réelles ou imaginaires en quantités complexes.

Une grandeur est du domaine des mathématiques dès qu'on sait définir l'égalité et la somme de deux grandeurs de cette espèce. On l'appelle alors grandeur mesurable.

Une droite, par exemple, est une grandeur mesurable, puisqu'on sait définir l'égalité et la somme de deux droites.

Une somme dont toutes les parties sont égales est un multiple de l'une d'elles; et celle-ci est un sous-multiple ou une partie aliquote de la

somme.

Afin de comparer plus facilement entre elles les grandeurs de même

espèce, on les rapporte toutes à l'une d'elles prise pour terme de comparaison: celle-ci s'appelle unité. L'unité et ses multiples nous donnent l'idée du nombre entier. Le premier des nombres entiers s'appelle unité comme la grandeur qu'il exprime.

L'Arithmétique est la science des nombres entiers: elle se divise en deux parties numération et calcul.

La numération a pour but de former, unité par unité, les nombres entiers, de les nommer tous à l'aide de quelques mots et de les écrire tous à l'aide de quelques caractères appelés chiffres.

Le calcul est la partie de l'arithmétique qui sert à former et à décomposer les nombres au moyen de procédés plus rapides que celui de la numération. Ces procédés se nomment operations élémentaires.

Les opérations élémentaires sont au nombre de six, savoir: addition, soustraction, multiplication, division, élévation aux puissances, extraction des racines. Toutes sont l'écriture d'opérations analogues effectuées sur des droites; mais il est plus simple d'appliquer les deux dernières aux nombres seulement. Enfin, l'addition, la multiplication et l'élévation aux puissances sont des opérations directes ou synthétiques, et chacune d'elles est suivie de l'opération inverse.

L'Algèbre, loin de se borner comme l'arithmétique à l'expression de l'unité et de ses multiples, s'attache à traduire aussi fidèlement que possible les propriétés de la grandeur continue. Elle crée à cet effet des combinaisons de nombres entiers et de signes en leur donnant les noms de nombres positifs, négatifs, fractionnaires, incommensurables, imaginaires,... puis, elle représente ces nouveaux nombres par des lettres et les soumet à leur tour aux six opérations élémentaires.

ADDITION.

Additionner deux ou plusieurs grandeurs de même espèce, c'est en former la somme.

Additionner deux nombres entiers, c'est en former un autre qui représente la somme des grandeurs exprimées par ces nombres. Le résultat s'appelle somme, les nombres donnés en sont les parties.