l'écriture des propriétés métriques de toute figure bien définie depuis les simples proportions jusqu'à la mise en équation de cette figure dans un système de coordonnées quelconque; tandis que la seconde a spécialement pour, objet étant donnée une équation à deux ou trois variables, d'en construire et d'en étudier le lieu géométrique en s'appuyant sur les propriétés des fonctions. C'est donc uniquement pour ne pas m'écarter sur ce point des habitudes reçues que je commence les applications algébriques par l'exposition du système de coordonnées de Descartes.

Variétés de cette
Distance de

SOMMAIRE: Imperfection des éléments actuels de mathématiques. - Réflexions de Poncelet et de M. Chasles à ce propos. - Applications du principe des signes. Propriétés métriques des triangles. Propriétés absolues de l'hyperbole équilatère. Définition générale de la circonférence. courbe. Circonférences de rayon ou de centre imaginaire. deux points quelconques. - Définition générale de l'hyperbole équilatère. Variétés de cette courbe. Applications de l'analyse ancienne à quelques théorèmes de géométrie supérieure. Propriétés métriques des triangles imaginaires. Foyers des coniques. Résolution graphique, dans tous les cas possibles, des équations du second et du troisième degré.

Poncelet ne se dissimulait pas l'imperfection des éléments actuels de mathématiques ('). « Toutes les lacunes, tous les vides ne sont pas rem« plis, disait-il, et ces lacunes, ces vides se font surtout sentir dans ce qui semble tenir de plus près aux connaissances préliminaires de la

«

« géométrie. » Mais une prédilection trop prononcée pour l'emploi des grandeurs absolues ne lui permit pas de découvrir la cause du mal.

M. Chasles est mieux inspiré lorsqu'il insiste sur la nécessité d'appliquer le principe des signes aux figures élémentaires; cependant n'atta

(1) Propriétés projectives des figures, Préface.

che-t-il pas trop d'importance à certaines restrictions lorsqu'il ajoute :(') « Si l'on ne démontre ordinairement une formule ou relation que pour « une certaine figure, et non dans l'état d'abstraction et de généralité

qui permettrait au moyen des signes et affectés aux segments « et aux angles, pour marquer leur direction, de l'adapter indifféremment à tous les cas possibles de la figure, il est facile d'en reconnaître

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la raison, c'est que les propositions qui forment le plus ordinairement « les éléments de démonstration dans la géométrie ancienne, ne comportent pas l'emploi du principe des signes. Telles sont la proposition « du carré de l'hypothénuse celle de la proportionnalité des côtés homologues dans les triangles semblables; celle encore de la proportionnalité dans tout triangle des côtés aux sinus des angles opposés. La règle des signes ne s'applique pas à ces propositions, parce que les << segments que l'on y considère sont formés sur des lignes différentes, <«<et les angles autour de sommets différents. »

Peut-être faudrait-il ici distinguer entre l'étude d'une figure isolée et la comparaison des propriétés métriques ou descriptives de cette figure avec celles des systèmes corrélatifs. Dans le premier cas, la simplicité des démonstrations exige l'emploi des grandeurs absolues. Dans le second cas, au contraire, on est forcé d'assigner à ces mêmes grandeurs certaines manières d'être d'autant plus générales que les figures à classer sont plus variées. Quant aux propriétés métriques des triangles, ce qu'en dit M. Chasles fait supposer qu'on ne puisse y parvenir qu'au moyen de la similitude. Cependant il est facile d'établir ces proprétés en ne s'appuyant que sur des propositions comportant l'emploi des signes. C'est ce que je tiens essentiellement à prouver parce que la voie à suivre en pareil cas me semble mener directement à la Théorie des triangles imaginaires.

Je rappelle d'abord en les généralisant quelques notions simples sur lesquelles j'aurai besoin de m'appuyer.

Soient O, A, B, trois points en ligne droite et C le milieu de AB.

(1) Géométrie supérieure, Préface.

Si le point O n'est pas entre A et B (fig. 32) les droites absolues OA, OB, ont pour demi-somme OC, pour demi-différence CA, et l'on a

Mais qu'on vienne à tenir compte à la fois de la longueur et du sens des droites en question, et le second cas rentre aussitôt dans le premier. Car les droites OA, OB, ont toujours alors pour demi-somme OC, pour demi-différence CA, en sorte qu'on a constamment

Voilà donc un premier avantage de l'emploi des droites de sens quelconque. Si l'on observe de plus qu'en multipliant membre à membre les égalités précédentes, il vient

on en conclut ce théorème important:

Le produit de deux droites de même sens ou de sens contraires est toujours égal au carré de leur demi-somme diminuée du carré de leur demi-différence.

Ce même theorème s'étend d'ailleurs aux droites imaginaires ou mixtes.

A

B

Fig. 34

Ainsi, les droites imaginaires O (A, A') ou OAi et O (B, B') ou OBi

ayant pour demi-somme O (C, C') ou OCi et pour demi-différence (C, C')

(A, A') ou CAi, on a bien (fig. 34)