et, à ce titre, elles permettent non-seulement de construire d'une manière complète le lieu d'une équation à deux ou trois variables, mais encore de déterminer graphiquement et par des procédés uniformes toutes les racines d'une équation à une seule inconnue: ce qui forme comme le couronnement de la géométrie cartésienne. Si j'ajoute enfin que ces mêmes droites se prêtent aussi bien à l'étude des fonctions hyperboliques qu'à celle des fonctions circulaires, et qu'elles paraissent devoir soutenir la concurrence avec les quantités complexes, soit pour l'interprétation des périodes des intégrales, soit dans la recherche des propriétés des fonctions, j'aurai, je pense, fait assez pressentir l'étendue des services qu'elles sont appelées à rendre en algèbre.

DEUXIÈME PARTIE

DÉFINITIONS D'ARITHMETIQUE ET D'ALGEBRE.

SOMMAIRE: Grandeurs, leur mesure. L'arithmétique est la science des nombres entiers. L'algèbre exprime les propriétés de la grandeur continue a l'aide de fonctions du nombre entier. Opérations successives.

Addition.

Soustraction.

Droites positives et négatives. Nombres de

signes contraires. Addition algébrique. Polynômes. Soustraction algébrique.

Somme algébrique de droites. Reste et Rapport par différence. Multiplication. Division.

Nombres incommensurables.
Quotient et Rapport par
Impossibilité de

Proportions et Progressions arithmétiques. Opérations successives. Fractions. Multiplication algébrique. Division algebrique. quotient. Proportions et progressions géométriques. trouver une moyenne proportionnelle entre deux droites de sens contraires. Définition des points réels et imaginaires. Droites de modes quelconques. Opérations qu'elles comportent. Conséquences qui en résultent pour le calcul des nombres imaginaires. Moyens égaux ou symétriques entre deux droites quelconques. Puissances. Racines. Opérations successives. Puissances et racines algébriques. Formules générales et équations. solutions des équations algébriques ne sont autres que les nombres réels ou imaginaires définis précédemment. Examen de quelques problèmes de géométrie résolus par l'algèbre. — Conversion des droites réelles ou imaginaires en quantités complexes.

Une grandeur est du domaine des mathématiques dès qu'on sait définir l'égalité et la somme de deux grandeurs de cette espèce. On l'appelle alors grandeur mesurable.

Une droite, par exemple, est une grandeur mesurable, puisqu'on sait définir l'égalité et la somme de deux droites.

Une somme dont toutes les parties sont égales est un multiple de l'une d'elles; et celle-ci est un sous-multiple ou une partie aliquote de la

somme.

Afin de comparer plus facilement entre elles les grandeurs de même

espèce, on les rapporte toutes à l'une d'elles prise pour terme de comparaison: celle-ci s'appelle unité. L'unité et ses multiples nous donnent l'idée du nombre entier. Le premier des nombres entiers s'appelle unité comme la grandeur qu'il exprime.

L'Arithmétique est la science des nombres entiers: elle se divise en deux parties: numération et calcul.

La numération a pour but de former, unité par unité, les nombres entiers, de les nommer tous à l'aide de quelques mots et de les écrire tous à l'aide de quelques caractères appelés chiffres.

Le calcul est la partie de l'arithmétique qui sert à former et à décomposer les nombres au moyen de procédés plus rapides que celui de la numération. Ces procédés se nomment opérations élémentaires.

Les opérations élémentaires sont au nombre de six, savoir: addition, soustraction, multiplication, division, élévation aux puissances, extraction des racines. Toutes sont l'écriture d'opérations analogues effectuées sur des droites; mais il est plus simple d'appliquer les deux dernières aux nombres seulement. Enfin, l'addition, la multiplication et l'élévation aux puissances sont des opérations directes ou synthétiques, et chacune d'elles est suivie de l'opération inverse.

L'Algèbre, loin de se borner comme l'arithmétique à l'expression de l'unité et de ses multiples, s'attache à traduire aussi fidèlement que possible les propriétés de la grandeur continue. Elle crée à cet effet des combinaisons de nombres entiers et de signes en leur donnant les noms de nombres positifs, négatifs, fractionnaires, incommensurables, imaginaires,... puis, elle représente ces nouveaux nombres par des lettres et les soumet à leur tour aux six opérations élémentaires.

ADDITION.

Additionner deux ou plusieurs grandeurs de même espèce, c'est en former la somme.

Additionner deux nombres entiers, c'est en former un autre qui représente la somme des grandeurs exprimées par ces nombres. Le résultat s'appelle somme, les nombres donnés en sont les parties.

SOUSTRACTION.

La soustraction a pour but connaissant une somme et l'une de ses parties, de trouver l'autre. Le résultat s'appelle reste.

Cette définition s'applique aux grandeurs comme aux nombres.

ADDITIONS ET SOUSTRACTIONS SUCCESSIVES.

On peut avoir à effectuer, sur une même grandeur, des additions et soustractions successives. Il est facile de s'assurer d'abord que l'ordre de ces opérations n'influe pas sur le résultat. La comparaison des diverses manières de procéder qui conduisent à ce résultat permet ensuite de discerner celle qui donne la règle la plus simple.

En considérant, par exemple, une droite AB suffisamment grande, on trouve qu'il revient au même.

B

Fig. 12

D

1o D'additionner l'une après l'autre à la droite AB les droites BC et CD (fig. 12),

ou de lui en additionner la somme BD;

B

Fig.13

2o D'additionner à la droite AB la

droite BC, puis de soustraire du résultat

la partie CD, moindre que BC (fig. 13), ou d'additionner à AB le reste

partie CD plus grande que BC (fig. 14), ou de soustraire de AB le

reste BD que donne CD diminuée de BC;

A

Fig. 15

soustraire la somme BD.

4° De soustraire l'une après l'autre de AB les parties BC et CD (fig. 15), ou d'en

De là, on conclut des règles particulières appropriées à chaque cas, ainsi que des égalités numériques de différentes formes; mais est-il possible de ramener toutes ces règles à une seule et toutes ces égalités à l'une d'elles comme type?