da2 nous substituons la valeur de , nous trouverons de même a2 +u2, ce qui prouve que la normale est égale, dans cette courbe, à son rayon de courbure; et comme d'ailleurs il est dirigé suivant cette normale (art. 157), il en résulte que ces lignes se confondent. 194. Cette propriété va nous servir à démontrer que la développée de la spirale logarithmique est une autre spirale logarithmique. Pour cet effet, le point N de la normale étant considéré comme appartenant au rayon de courbure, et se trouvant à son extrémité, est sur la développée. Soient t'et u' les coordonnées de ce point N (fig. 6o), il sera facile de les déterminer en fonction des coordonnées t et u du point M de la courbe; car soit oo' un arc de cercle décrit avec un rayon égal à l'unité ; les abscisses des points M et N différeront entre elles de cet arc, qui, à cause que l'angle MAN est droit, sera égal au quart de la circonférence; le quart 2 si en adoptant la notation usitée, nous représentons par de la circonférence décrite avec l'unité pour rayon, nous aurons t't+, équation qui, étant différentiée, nous donnera d t=dť ́. 2 D'une autre part, l'ordonnée polaire u' du point N de la déve du loppée étant égale à la sous-normale de la spirale logarith du dt mique, nous changerons en u', dans l'équation de cette courbe, dt et nous trouverons u = au', et par conséquent dua du'. Substituant ces valeurs de dt; de du et de u dans l'équation (134) de la spirale logarithmique, nous trouverons équation qui, étant de même forme que la précédente, nous apprend que la spirale logarithmique a pour développée une autre spirale logarithmique. De la spirale hyperbolique et des spirales comprises dans l'équation u = at". 195. La propriété de la spirale hyperbolique est d'avoir une sous-tangente constante. Si nous représentons cette sous-tangente par a, nous en égalerons la valeur à celle de la sous-tangente (art. 185) d'une courbe polaire, et nous aurons, pour l'équation de la spirale hyperbolique, nous prenons la constante a négative, parce qu'alors on a et en remplaçant la quantité indéterminée C par une autre prenant l'origine des t de manière que l'abscisse t+C' soit égale à une nouvelle abscisse t, l'équation précédente deviendra ce qui montre que lorsque to, u= ∞ ; d'où il suit que le rayon vecteur, qui répond au point où t devient nul, est une asymptote à la courbe. apprend qu'au bout de deux révolutions le rayon vecteur est réduit à moitié de ce qu'il était à la fin de la première, qu'au bout de trois révolutions il est réduit au tiers, et ainsi de suite. 197. L'équation de la spirale hyperbolique et celle de la spirale de Conon, sont des cas particuliers de l'équation u = at"; car en faisant n=1, et a I 27 , on obtient la première, et en faisant n➖➖1, on obtient la seconde. Parmi les spirales déterminées par cette équation, on distingue la spirale parabolique, qu'on trouve en faisant n = 2. De la logarithmique. 198. La logarithmique est une courbe à coordonnées rectangulaires, dans laquelle l'abscisse est le logarithme de l'ordonnée; l'équation de cette courbe est donc 199. Pour discuter cette équation, faisons x = 0; nous trouverons y ; si l'on donne ensuite des valeurs croissantes et positives à x, y ira toujours en croissant; mais si l'on donne à x une valeur négative -u, on trouvera I y = a a" ; et l'on voit que l'ordonnée diminuera d'autant plus qu'on s'écartera de l'origine, dans le sens des abscisses négatives, et qu'enfin la courbe ne pourrait atteindre le prolongement de l'axe des x qu'à l'infini, cas où l'équa I tion y = deviendrait y = = 0; d'où l'on peut con au a clure que le prolongement de l'axe des x est une asymptote à la courbe. 200. Si, à partir de l'origine, on prend des abscisses égales (fig. 61), AP AP': u, on trouvera PM a", P'M' I a" : donc PMP'M': 201. La propriété la plus remarquable de cette courbe la sous-tangente a une valeur constante. En effet, l'équation de la logarithmique étant différentiée, nous Or, le premier membre de cette équation exprime la sous-tangente de la courbe (art. 71); done cette sous-tangente est constante. De la cycloïde. 202. La cycloïde est une courbe qui est décrite par le mouvement d'un point M (fig. 62) situé sur la circonférence d'un cercle qui roule sur une droite RC. Il est certain · que dans ce mouvement de R en C, tous les points de l'arc RM viendront successivement s'appliquer sur la droite RA, jusqu'à ce que M, à son tour, s'y applique en A; par conséquent l'arc RM sera égal à la droite RA. Tous les points par lesquels passe le point M, dans ce mouvement, étant, par hypothèse, sur la cycloïde, le point A sera aussi sur cette courbe. Prenons-le pour origine des abscisses, et abaissons la perpendiculaire ME sur le diamètre BR, et faisons AP = x, PM = y, BR = 2a, arc MR = z, ME = u; nous aurons Nous chercherons d'abord à éliminer l'arc z de la manière suivante : nous différentierons l'équation précédente, ce qui nous donnera nous obser Pour avoir la valeur de dz en fonction de verons qu'entre u et z nous avons la relation u = sin z. Cette équation étant différentiée (art. 44), on trouve il faut remplacer, dans cette équation, la valeur de cos z par celle que nous donne l'équation |