entre eux, puis on ajoute à leur somme le nombre qui a été séparé. Le résultat de cette dernière addition doit être égal à celui de la première. Cette preuve n'est que probable; car on pourrait commettre dans la seconde addition la même erreur que dans la première. La seule preuve rigoureuse de l'addition se trouve dans la soustraction (Voir plus bas, II, 2.). II. SOUSTRACTION. La soustraction a pour objet de retrancher un nombre d'un autre; le résultat de cette opération s'appelle reste, excès ou différence. 1. EXPLICATION DE LA SOUSTRACTION. Pour faire une soustraction, on écrit le nombre à soustraire au-dessous de l'autre nombre, de manière que les unités de même ordre se correspondent; on souligne le nombre inférieur pour le séparer du résultat; on retranche successivement, en commençant par la droite, chaque chiffre du nombre inférieur de son correspondant dans le nombre supérieur, et l'on écrit le reste au-dessous, ou zễro, si le este n'est rien. Si le chiffre inférieur est plus grand que le chiffre supérieur, on ajoute à celui-ci dix unités pour rendre la soustraction possible, et lorsqu'on passe à la colonne suivante, on augmente le chiffre inférieur d'une seule unité, qui vaut les dix unités ajoutées au nombre supérieur. Ex.: 802617 547745 2. PREUVE DE LA SOUSTRACTION PAR L'ADDITION. La preuve de la soustraction se fait par l'addition du reste avec le plus petit nombre; si la première opération est exacte, la seconde doit reproduire le plus grand nombre. PREUVE DE L'ADDITION PAR LA SOUSTRACTION. Lorsqu'on n'a ajouté que deux nombres, on peut faire la preuve de l'addition en retranchant du total l'un des nombres, et l'on reproduit l'autre. Multiplication. N° 3. 1. Définition particulière au cas des nombres 2. Qu'appelle-t-on multiplicande, multiplicateur, produit, facteurs? 3. Espèce des unités du produit. entiers. 4. Table de Pythagore. - 5. Multiplication par un nombre d'un seul chiffre. 6. Multiplication par un nombre com- posé d'un seul chiffre suivi de plusieurs zéros. — 7. Multi- multiplication au moyen d'une autre multiplication. 1. DÉFINITION PARTICULIÈRE AC CAS DES NOMBRES ENTIERS. La multiplication est une opération par laquelle on répète un nombre autant de fois qu'il y a d'unités dans un autre. 2. MULTIPLICANDE, MULTIPLICATEUR, PRODUIT et facteurs. Le nombre à multiplier s'appelle multiplicande; celui par lequel on multiplie, multiplicateur, et le résultat de l'opération, produit. Le multiplicande et le multiplicateur se nomment con- jointement facteurs du produit, parce qu'ils servent à le former. 3. ESPÈCE DES UNITÉS DU PRODUIT. Les unités du produit sont de même espèce que celles du multiplicande, puisqu'il n'est autre chose que ce multiplicande ajouté successivement à lui- 4. TABLE DE PYTHAGORE. La multiplication des nombres com- posés se réduit à trouver les produits réciproques des neuf pre- 2 4 6 8 10 12 14 16 18 La première bande horizontale 5. MULTIPLICATION PAR UN NOMBRE D'UN SEUL CHIFFRE. La mul- suivante. On multiplie successivement, en commençant par la droite, les différents chiffres du multiplicande par le multiplicateur; si le produit ne passe pas 9, on l'écrit tout entier; s'il contient des dizaines, on les retient pour les ajouter au produit suivant, etc. Ex. : 6. MULTIPLICATION PAR UN SEUL CHIFFRE SUIVI DE PLUSIEURS ZEROS. La multiplication par un nombre d'un seul chiffre suivi de plusieurs zéros, se fait sans avoir égard aux zéros; mais pour rendre au produit sa véritable valeur, on écrit à sa droite autant de zéros qu'il s'en trouve dans le multiplicande. Ex. : 453 1359.00 7. MULTIPLICATION PAR UN NOMBRE DE PLUSIEURS CHIFFRES. La multiplication par un nombre de plusieurs chiffres, se decompose en une suite de multiplications par un seul chiffre. On multiplie d'abord tous les chiffres du multiplicande par les unités du multiplicateur; on fait la même chose pour les dizaines, les centaines, etc.; on place ces produits partiels les uns sous les autres, dans l'ordre de leur génération, c'est-àdire en reculant toujours d'un rang vers la gauche, et l'on additionne ensuite tous ces produits partiels pour avoir le produit total. Ex.: 453 345 2265 1812 1359 156285 8. CAS OU LES FACTEURS SONT TERMINĖS PAR DES ZÉROS. Si les facteurs sont terminés par des zéros, on fait la multiplication sans avoir égard à ces zéros, et l'on en ajoute à la droite da produit autant qu'il s'en trouve dans les deux facteurs. Ex.: 453000 2265 1812 1359 156285.000000 9. PREUVE DE LA MULTIPLICATION AU MOYEN D'UNE AUTRE MULTIPLICATION. Il n'existe d'autre preuve de la multiplication par une autre multiplication que celle qui consiste à intervertir l'ordre des facteurs. Ainsi après avoir multiplié l'un des facteurs par l'autre, on peut vérifier l'opération en multipliant le second par le premier; le produit devra être le même dans les deux cas : car (comme on va le démontrer no 4) le produit de deux nombres reste le même, quand on change l'ordre des facteurs. Ex.: Cette preuve n'est pas rigoureuse, mais seulement probable; car, en multipliant 5 par 3 ou 3 par 5, on pourrait commettre la même erreur et dire par exemple: 5 par 3 et 3 par 5 font 16. La seule preuve rigoureuse de la multiplication se trouve dans la division du produit par un des facteurs (Voir plus loin, n° V, 7.). N° 4. Démonstration des deux principes suivants : 1o le produit de deux nombres reste le même quand on change l'ordre des deux facteurs ; 2° on multiplie un nombre par un produit de deux facteurs, en multipliant ce nombre successivement par chacun des deux facteurs. -2. Usage principal de la multiplication. 1. PRODUIT DE DEUX NOMBRES RESTANT LE MÊME QUAND ON CHANGE L'ORDRE des facteurs. Le produit de deux nombres reste le même, quand on change l'ordre des facteurs, c'est-à-dire qu'on peut prendre indifféremment l'un ou l'autre pour multiplicande; ainsi le produit de 6 par 3 est égal à celui de 3 par 6. En effet, si l'on décompose le nombre 6 en six unités, 1, , 1, 1, et qu'on écrive les unes au-dessous des autres autant de lignes semblables que le nombre 3 a d'unités, on formera le tableau suivant : ..... III... Chaque ligne horizontale renferme 6 unités, et chaque colonne verticale, 3. De quelque manière que l'on somme ces unités, on a toujours le nombre 18. Or, procéder par les lignes horizontales, c'est multiplier 6 par 3; procéder par les colonnes verticales, c'est multiplier 3 par 6. Ce raisonnement pouvant s'appliquer à deux auties nombres quelconques, on doit en conclure que le produit de deux nombres reste le même quand on change l'ordre des facteurs. MULTIPLICATIon d'un nombrE PAR UN PROduit de deux FACTEURS, EN MULTIPLIANT CE NOMBRE SUCCESSIVEMENT PAR CHACUN DES FACTEURS. On multiplie un nombre par le produit de deux facteurs, en multipliant ce nombre successivement par chacun des deux facteurs. Ainsi, 3 multiplié par 20 (produit des nombres 4 et 5) est égal à 3 multiplié d'abord par 4, puis par 5, ou 3× 20 = 3 4 5. En effet, si dans l'expression 3 × 4 × 5, on décompose le nombre 3 en ses unités, on a 1× 4×5 répété 3 fois. Or 1×4×5=4× 5 ou 20, puisque 1 ×4=4; done 3 × 4 × 520 répété 3 fois, et par conséquent : 3 X 20. = La combinaison de ces deux principes démontre que le produit d'un nombre quelconque de facteurs ne change pas, dans quelque ordre qu'on les multiplie. 2. USAGE PRINCIPAL DE LA MULTIPLICATION. L'usage principal de la multiplication consiste à trouver la valeur totale de plusieurs unités, lorsqu'on connaît la valeur de chacune. Ainsi, pour savoir ce que valent 36 mètres d'étoffe, à raison de 5 francs le mètre, il faut multiplier 36 par 5; on a pour le prix total 180 francs. La multiplication sert encore à convertir des unités d'une certaine espèce, en unités d'une espèce plus petite, comme des heures en minutes, des toises en pieds, etc. 1. Le signe + signific plus; signifie multiplié par ; le signe=signific égale; signific moins. |