on a donc, d'après le premier lemme, en appelant S l'aire du segment indéfiniment prolongé, formule dans laquelle il faut faire tendre vers zéro, ce qui la réduit à et supposons qu'on veuille obtenir l'aire du segment compris entre l'axe des y et une ordonnée xa: formons la progression a: a(s): a(1-x)2:..., prolongée indéfiniment, de sorte que étant aussi petit qu'on le voudra, le terme général, néanmoins, tende vers o; supposons menées les ordonnées xa, a(1-x), a(1 − x)2, et imaginons les rectangles ayant pour bases les distances zx qui séparent deux ordonnées consécutives et pour hauteur l'une de ces ordonnées. L'aire d'un de ces rectangles sera Ces rectangles varieront donc en progression géométrique. le premier lemme donnera donc, en désignant par S l'aire cher Il est certain que cette théorie est bien supérieure à celles de Cavalieri et de Wallis, relatives aux mêmes questions, mais Pascal les traite encore mieux dans un ouvrage publié en 1659, vingt ans par conséquent avant la publication de celui de Fermat. M. Brassine veut voir dans le Mémoire de Fermat des exemples d'intégration par parties (ou plutôt des exemples de formules qui peuvent s'obtenir par ce mode de transformation), mais les traités publiés par Pascal avec la lettre à M. de Carcavi fourmillent d'exemples semblables et beaucoup plus intéressants que ceux que donne Fermat. De plus Pascal évalue en se jouant des intégrales doubles et triples et les transforme. Il nous reste à donner un précis des travaux de Fermat sur la théorie des nombres. La matière pourrait donner lieu à des développements très étendus si, par bonheur, nous n'avions pas, de la main même de Fermat, un aperçu de la méthode qui l'a guidé dans ces travaux. Cet aperçu a été découvert par M. Charles Henry avec beau coup d'autres documents intéressants, notamment des lettres de Fermat à Séguier, à Huet, à Huyghens, à Carcavi, à Mersenne, et une ingénieuse méthode de décomposition des grands nombres en facteurs premiers, par laquelle nous commencerons. Cette méthode repose sur le théorème suivant : Si un nombre impair est premier, il est et d'une seule manière la différence de deux quarrés entiers. En effet, en désignant par x2 et y les deux quarrés, on doit avoir : x2 - y2 = n ou (x − y) (x+y)=n : mais n étant premier ne peut être le produit de deux facteurs qu'à la condition que l'un d'eux soit égal à l'unité; on doit donc poser: Par exemple, soit à reconnaître si 17 est premier, ajoutons à 17 les quarrés 1, 4, 9, 16, 25,... jusqu'à 64, il n'est pas nécessaire 1,4, d'aller plus loin puisque 64 = ("=')'] 2 [i ; de toutes les sommes qu'on obtient, 17+6481 est le seul nombre quarré : donc 17 est premier. Cette méthode a été réinventée dans ce siècle, et elle a servi tout récemment à décomposer le nombre 26+1 en facteurs premiers, résultat important dans certaines recherches arithmétiques. La Relation des nouvelles descouvertes en la science des nombres mérite d'être citée in extenso: c'est le plus important docu ment que nous possédions sur les méthodes arithmétiques de Fermat. << Et pource que les Méthodes ordinaires qui sont dans les livres estoyent insuffisantes à demonstrer des propositions si difficiles, je trouvay enfin une route tout a fait singulière pour y parvenir. J'appellay cette manière de demonstrer la descente infinie ou indefinie, etc. « Je ne m'en seruis au commencement que pour demonstrer les propositions négatives, comme par exemple, qu'il ny a aucun nombre moindre (1) de l'unité qu'un multiple de 3 qui soit com posé d'un quarré et du triple d'un autre quarré; qu'il n'y a aucun triangle rectangle de nombres dont l'aire soit un nombre quarré. La preuve se fait par ἀπαγωγήν την εις ἀδύνατον en cette manière : s'il y auoit aucun triangle rectangle en nombres entiers, qui eust son aire esgale à un quarré, il y auroit un autre triangle moindre que celuy là qui auroit la mesme proprieté; s'il y en auoit un second moindre que le premier qui eust la mesme proprieté il y en auroit par un pareil raisonnement un troisieme moindre que ce second qui auroit la mesme proprieté et enfin un quatrieme, un cinquieme, etc., a l'infini en descendant. Or est il qu'estant donné un nombre il n'y en a point infinis en descendant moindres que celuy la, j'en tens parler tousjours des nombres entiers. D'ou on conclud qu'il est donc impossible qu'il y ait aucun triangle rectangle dont l'aire soit quarré. << On infère de la qu'il n'y en a non plus en fractions dont l'aire soit quarré, car s'il y en auoit en fractions, il y en auroit en nombres entiers, ce qui ne peut pas estre, car il se peut preuuer par la descente. (') Amoindri. |