NEUVIÈME PÉRIODE

C

ETTE période voit naître et se développer ia méthode des indivisibles, qui peut se rattacher, au point de vue

géométrique, à celle qu'Archimède employa pour comparer les segments de conoïdes aux segments sphériques, mais qui en diffère en ce qu'elle est fondée sur le calcul et acquiert par là plus de généralité.

Le calcul des indivisibles peut être considéré comme équivalant à notre calcul intégral, borné à l'intégration des fonctions différentielles. Il en diffère cependant en ce qu'il est indépendant de toute autre théorie.

Notre calcul intégral n'a pas, à proprement parler, d'existence propre sauf quelques transformations et réductions indispensables, il n'est que l'inverse du calcul différentiel, c'est-à-dire que nos procédés d'intégration se réduisent à comparer les fonctions placées sous le signe sommatoire, au tableau des différentielles connues. Au contraire la méthode des indivisibles n'emprunte rien à aucune autre et se suffit à elle-même, parce que les sommations s'y font directement.

On verra peut-être avec étonnement que le calcul intégral ait pris naissance avant le calcul différentiel; cependant cela ne doit

pas surprendre extrêmement : les problèmes de la quadrature des aires planes contenues dans des contours curvilignes, de la cubature des volumes enfermés dans des surfaces courbes, de la rectification des lignes courbes, ou de la quadrature des surfaces courbes s'imposent en effet si bien d'eux-mêmes à l'attention. qu'ils sont posés de toute antiquité. Tandis que celui des affec tions intimes des courbes ou surfaces, dans leurs éléments infinitésimaux, ne pouvait être imaginé qu'à la suite de recherchesdéjà très délicates. Ainsi le premier venu a l'idée de la recherche de l'aire d'une surface courbe, tandis que, par exemple, Voltaire n'est même pas parvenu à comprendre ce qu'on pouvait bien entendre par le cercle osculateur à une courbe en l'un de ses points, quoiqu'il connût la solution du problème.

La méthode des indivisibles, remplacée presque aussitôt après son invention par le calcul intégral, a laissé peu de traces dans les esprits on la connaît très peu; elle mérite cependant d'être étudiée avee soin : elle correspond en effet à une phase très importante de l'évolution de l'esprit mathématique.

Nous n'entrerons pas ici dans le détail des solutions obtenues, dans la période qui nous occupe, des quatre grands problèmes énoncés plus haut: on trouvera ces détails dans l'analyse que nous donnerons des travaux des principaux instaurateurs de la méthode. Il suffira ici, pour caractériser cette méthode, de considérer en particulier le problème de la quadrature des aires planes enfermées dans des contours curvilignes, auquel se ramènent plus ou moins immédiatement les trois autres.

Soit

r = f(x)

l'équation, en coordonnées rectangulaires, par exemple, de la

courbe dont on veut obtenir le segment compris entre les deux ordonnées x = x, et x=x1:

On trouve d'abord, très nettement énoncé dans Roberval, ce principe que, si f (x) se compose de plusieurs parties positives ou négatives,x), 4(x), z(x).... l'aire cherchée se compose des

combinées avec les mêmes signes.

C'est l'équivalent de notre principe que l'intégrale d'une somme est la somme des intégrales des parties. Au point de vue concret, il se traduit, chez les géomètres de la période qui nous occupe, par cette observation que l'aire d'une courbe ne dépend pas de la figure droite ou courbe de la base à partir de laquelle sont comptées les ordonnées de cette courbe, mais seulement de la grandeur de ces ordonnées et de la loi qui les lie à la distance qui les sépare de la première d'entre elles.

Cela posé, et l'ordonnée y = f(x) de la courbe à quarrer étant réduite autant que possible, si l'on conçoit la distance x, xo des ordonnées extrêmes, divisée en un très grand nombre n de parties égales, dont l'une sera h, l'un des éléments de l'aire à obtenir sera

hf(x)

et cette aire sera elle-même représentée par

7-1

hf(xo+nh);

ou, du moins, l'aire cherchée sera fournie par la limite de cette somme, pour n infini.

La formule n'est pas encore notée ainsi; elle n'est même énoncée qu'en langage ordinaire, mais cela importe peu: elle n'en équivaut pas moins absolument à la nôtre :

L 'f(x) dx;

seulement ce n'est pas précisément la somme

-1hf(x,+ nh),

que recherchent les Géomètres de la période qui nous occupe, du moins jusqu'à Pascal: c'est le rapport de l'aire en question au rectangle qui aurait la même base que le segment, et pour hauteur l'ordonnée extrême de la courbe, c'est-à-dire

le motif de leur préférence est que ce rapport se transforme immédiatement en

et que l'évaluation d'une somme finie d'éléments infiniment petits se trouve ainsi remplacée par celle du rapport de deux sommes infinies d'éléments finis, en nombre illimité. Cette préférence s'explique aisément parce que les méthodes de calcul n'ayant pas encore reçu les développements qui seraient nécessaires, c'est au moyen de figures que se font les démonstrations, même arithmétiques; or, les éléments finis des termes du rapport