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ou, en rétablissant la notation adoptée dans la démonstration de la proposition précédente, afin d'éviter toute confusion,

2

R.R() + Rsin ( — 2.) R cos ( — ?.),

o désignant le complément de l'angle de Pascal.

On obtiendra donc la somme triangulaire cherchée en ajoutant les deux intégrales

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R3

R3

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(-) et sin();

le quadruple de la somme triangulaire des quarrés des sinus de

l'arc R est donc bien

R[(R)+(R sin?)*].

Toutes les intégrales qu'on a vues dans ce qui précède se trouvent indiquées dans les énoncés de Pascal, que nous avons exprès reproduits textuellement, afin de ne laisser subsister aucun doute à cet égard. Elles ne sont, il est vrai, notées sous aucun signe sommatoire, mais il est bien clair qu'en les écrivant sous la forme moderne, nous ne les avons pas plus altérées que nous n'y avons ajouté, la différentielle de la variable, dont Pascal ne parle jamais étant toujours sous-entendue par lui, comme il le rappelle souvent.

Quant aux intégrations, Pascal les fait à l'aide de considérations géométriques, c'est-à-dire en disposant ses figures assez habilement pour que les sommes qu'il recherche deviennent tangibles. On ne peut donc pas dire qu'il ait inventé le Calcul intégral, en ce sens que ce n'est pas par calcul qu'il intègre, mais il faut reconnaître qu'il a introduit la considération d'un grand nombre d'intégrales, qu'il les a comparées les unes aux autres, qu'il les a transformées les unes dans les autres, et enfin qu'il les a évaluées.

Sans doute, en fait de découvertes, le procédé n'est pas chose indifférente car la connaissance de nos méthodes abstraites met l'intégration à la portée de tout le monde, tandis qu'il faudrait au moins une grande intelligence pour se servir de la méthode que Pascal avait trouvée dans son génie. Mais la découverte, une fois faite, subsiste et il est ensuite facile de rectifier le procédé. Je ne dis pas cela pour rabaisser la gloire des inventeurs de l'analyse infinitésimale le grand mérite de Leibniz est d'avoir créé la méthode différentielle dans ses deux grandes divisions. L'intégration des différentielles n'en forme qu'un tout petit chapitre. J'ajoute que les intégrales doubles que j'ai formulées plus haut Histoire des Sciences, IV.

M. MARIE.

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se trouvent aussi dans Pascal. Non seulement il considère une somme triangulaire comme une somme de sommes simples, mais il l'obtient, comme je l'ai fait par exemple dans la proposition X du Traité des sinus, par deux intégrations superposées.

Traité des arcs de cercle.

Les propositions contenues dans ce traité se rapportent à un triligne circulaire, c'est-à-dire à un demi-segment de cercle à une base. La demi-corde est la base du triligne, la flèche de l'arc est l'axe.

Presque toutes ces propositions sont très faciles et je me bornerai le plus souvent à en rapporter les énoncés, en les abrégeant.

Proposition I.

L'axe du triligne étant divisé en un nombre indéfini de parties égales, si l'on mène, par les points de division, les ordonnées à l'axe, lesquelles diviseront l'arc en parties: la somme de ces ordonnées (multipliée par leur intervalle) sera égale au rectangle du rayon et de la base; la somme de leurs quarrés (multipliée par le même intervalle) sera égale au solide fait du rayon et du triligne, augmenté du rectangle de sa base et de la différence entre son axe et le rayon du cercle; la somme des cubes des mêmes ordonnées (multipliée toujours par le même intervalle sera aussi donnée; ainsi que la somme triangulaire des mêmes. ordonnées, leur somme pyramidale et la somme triangulaire de leurs quarrés.

Proposition II.

Dans la proposition précédente, l'axe du triligne était supposé moindre que le rayon; Pascal le suppose maintenant plus grand.

Lemme I.

Si une aire plane S est divisée en parties S1, S2, ..., et si les distances des centres de gravité de cette aire et de ses parties à un axe contenu dans son plan sont x, x1, X2, on aura l'égalité

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Si un secteur circulaire est divisé en une infinité de petits secteurs égaux, les centres de gravité de ces petits secteurs sont distribués également sur l'arc dont le rayon serait les deux tiers du rayon du secteur proposé.

Proposition III.

Si l'on considère un secteur circulaire OAB, dont l'arc soit divisé en une infinité de parties égales, la somme des secteurs compris entre le rayon OA et chacun de ceux qui seraient menés aux points de division (multipliée par une des divisions) est égale au quart du quarré de l'arc AB, multiplié par le rayon.

Proposition IV.

La somme triangulaire des mêmes secteurs (multipliée par le quarré d'une des divisions) est égale au douzième du cube de l'arc, multiplié par le rayon.

Proposition V.

La somme des solides compris des mêmes secteurs et de leurs bras respectifs sur OA (multipliée par une des divisions de l'arc)

est égale au produit du cube du rayon par le tiers de l'arc, diminué du tiers de son sinus-verse.

Proposition VI.

La somme des solides compris des mêmes secteurs et de leurs bras respectifs sur le rayon perpendiculaire à OA (multipliée toujours par une des divisions de l'arc) est égale au cube du rayon, multiplié par le tiers du sinus-verse de l'arc.

Proposition VII.

Si des points de division de l'arc on abaisse des perpendiculaires sur le rayon perpendiculaire à OA, lesquelles seront les cosinus des arcs compris entre l'extrémité A de l'arc et les points de division, la somme des triangles rectangles compris entre le rayon mené au point de division, le cosinus dont il vient d'être parlé et le sinus correspondant (multipliée par une des divisions de l'arc) sera égale au quart du produit du rayon par le sinus de l'arc entier.

Proposition VIII.

La somme triangulaire des mêmes triangles (multipliée par le quarré d'une des divisions de l'arc) sera égale au produit du cube du rayon par la huitième partie de l'arc, moins la huitième partie du produit du quarré du rayon par le rectangle du sinus et du cosinus de l'arc entier.

Proposition IX.

La somme des solides faits des mêmes triangles et de leurs bras respectifs sur OA (multipliée par une des divisions de l'arc) est égale au tiers du cube du rayon multiplié par le sinus de l'arc, moins

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