En effet, six et y désignent les coordonnées d'un point quelconque de l'arc du triligne et S la surface de ce triligne,

I

mais est nul aux deux limites; par conséquent, au signe

près,

Sy2x dx = fxy dy.

Enfin, il reste une série de propositions placées sous le titre :

Méthode pour trouver la dimension et le centre de gravité de la surface courbe des doubles onglets,

par la seule connaissance des sinus sur l'axe.

Le théorème fondamental consiste en ce que :

« Si on connaît, dans un triligne,

1o la grandeur de sa ligne courbe,

2o la somme des sinus sur l'axe,

3o la somme des quarrés de ces sinus sur l'axe,

4o la somme des rectangles de ces mêmes sinus sur l'axe, mul tipliés chacun par leur distance de la base :

On connaîtra aussi la dimension de la surface courbe du double onglet de l'axe et le centre de gravité de cette surface courbe, c'est-à-dire le bras de cette surface sur la base et le bras de cette même surface sur l'axe. >>

Cette proposition est facile à vérifier: il suffit pour cela de remarquer que les arêtes de la surface cylindrique du double onglet de l'axe ne sont autre chose que les sinus de la courbe sur

cet axe.

Propriétés des sommes simples, triangulaires et pyramidales.

Première propriété. Si l'on connaît la somme simple, la somme triangulaire et la somme pyramidale de grandeurs, A1, A2, ..., An, à partir de A1, on connaîtra les mêmes sommes,

pour les mêmes grandeurs, à partir de An.

Deuxième propriété.

Si les grandeurs proposées sont aug

mentées d'une même grandeur, on connaîtra les sommes simple,

triangulaire et pyramidale, des nouvelles grandeurs.

Troisième propriété.

Si outre les sommes simple, trian

gulaire et pyramidale des grandeurs considérées, on connaît en

outre les sommes simple, triangulaire et pyramidale de leurs quarrés, on connaîtra les mêmes sommes pour les mêmes grandeurs augmentées d'une même grandeur.

Quatrième propriété. Elle se rapporte au cas où les grandeurs considérécs d'abord sont appliquées à d'autres grandeurs. Pascal ne prend pas le mot appliquer dans le sens que lui donnait Viète appliquer deux grandeurs l'une à l'autre, c'est, pour lui, en faire un rectangle.

Traité des sinus du quart de cercle.

Pascal démontre d'abord que, si d'un point du quart de la circonférence on mène le sinus et la tangente, sur laquelle on prendra une longueur quelconque, le rectangle compris du sinus (on voit que les sinus sont encore des longueurs) et du segment pris sur la tangente sera égal au rectangle du rayon et de la projection du segment sur le diamètre auquel les sinus sont menés.

Cela posé, Pascal établit de proche en proche les propositions renfermées dans l'énoncé général suivant, qu'il donne d'ailleurs en terminant :

La somme des mièmes puissances des sinus d'un arc quelconque du quart de cercle est égale à la somme des puissances (m· I des ordonnées de cet arc, comprises entre les sinus extrêmes, multipliée par le rayon.

Pour l'intelligence de cet énoncé, il faut supposer que l'arc a été divisé en parties égales, que les sinus ont été menés des points de division, que la distance des pieds des sinus extrêmes a été divisée en parties égales aux parties de l'arc et que les ordonnées ont été menées des points de division.

y désignant une ordonnée du quart de cercle; mais Pascal supposant Rd égal à dx, les supprime dans les deux membres.

Si l'on fait dans cette formule m 1, elle donne, en divisant par R*,

au signe près, dont Pascal ne tient jamais compte.

l'aire du segment du cercle de rayon 1, compris entre les sinus extrêmes, l'axe des x et l'arc du cercle.

Les démonstrations se font toujours par des considérations géométriques; nous ne les rapportons pas parce que, sur ce point, l'intérêt consiste surtout à savoir que Pascal soit allé aussi loin dans le calcul intégral.

Proposition V.

«Le centre de gravité de tous les sinus d'un arc quelconque, placés comme ils se trouvent, est dans celui qui divise en deux également la distance d'entre les extrêmes. »>

Placés comme ils se trouvent signifie descendant des points qui divisent l'arc en parties égales; par conséquent le théorème signifie, en prenant les moments par rapport au diamètre paral

La démonstration de Pascal est analogue à celle que l'on donne pour le centre de gravité de la zone. Toutefois elle repose sur la considération d'intégrales étudiées dans le Traité des trilignes.

Proposition VI.

«La somme des rectangles compris de chaque sinus sur la base et du sinus sur l'axe est égale à la moitié du quarré de la distance d'entre les sinus extrêmes sur la base, multipliée par le rayon, lorsque l'arc est terminé au sommet. »

C'est-à-dire

2

R sing. R cose. Rdp== R(R cos po).

Même remarque que pour la proposition V. Pour noter l'inté grale, nous avons supposé l'angle o plus grand que, afin de

pouvoir prendre les lignes trigonométriques dans leur véritable acception.