de l'axe et de la base, des perpendiculaires qui prendront les noms d'ordonnées à l'axe et d'ordonnées à la base, puis semblablement, des points de division de la courbe, des perpendiculaires à l'axe et à la base, qui s'appelleront les sinus de la courbe à l'axe, et à la base ».

Que l'on conçoive, comme précédemment, le cylindre droit ayant le triligne pour base et qu'on le coupe par des plans menés par OA et OB et inclinés de 45° sur le plan du triligne, les troncs du cylindre, séparés par ces plans, seront l'onglet de la base et l'onglet de l'axe; et si l'on mène par les mêmes droites des plans inclinés aussi de 45°, au-dessous du plan du triligne, ils comprendront, avec leurs symétriques, les doubles onglets de la base et de l'axe. »

Cela posé, considérons par exemple le double onglet de l'axe OB, lequel est compris entre la surface cylindrique qui a pour directrice AB, le plan mené par OA perpendiculairement au plan du triligne et les deux plans menés par OB à 45o de distance angulaire du plan de ce triligne : ce double onglet aura un grand nombre de rapports remarquables avec le demi-solide qu'engendrerait le triligne en tournant autour du même axe OB. En effet, pour rendre l'explication plus claire, supposons que le demi-solide en question soit déterminé, dans le solide entier, par le plan mené par OB perpendiculairement au plan du triligne et qu'il soit à la gauche de ce plan mené par OB, de façon qu'il se projette sur le plan du triligne suivant ce triligne lui-même.

Coupons l'onglet et le demi-solide par une infinité de plans perpendiculaires à OB et équidistants entre eux : la section faite par un de ces plans parallèles dans le demi-solide sera un demicercle tel que ocac' (fig. 9) ayant pour rayon une des abscisses

de la courbe du triligne, et le même plan coupera le double onglet suivant le triangle isoscèle dod', où la base sera double de la hauteur.

Le rapport des deux sections sera donc constant et égal à

1o Les volumes des deux corps seront dans le rapport

2

2o Les centres de gravité du double onglet et du demi-solide seront sur le plan du triligne. C'est évident.

3o Ces centres de gravité seront également distants du plan élevé en O perpendiculairement à OB, puisque les segments

infinitésimaux des deux corps, compris entre des plans parallèles à ce plan de base, resteront toujours dans le même rapport.

4o Les distances des centres de gravité du demi-solide et du double onglet à l'axe OB du triligne seront entre elles dans le rapport

En effet, les distances à cet axe OB des centres de gravité du demi-cercle cac' et du triangle dad' seront respectivement

5o Les surfaces courbes du demi-solide et du double onglet seront aussi entre elles dans le rapport

puisque les sections faites par les mêmes plans parallèles au plan de base, dans les deux surfaces, seront respectivement

поа et 20a.

6o Les centres de gravité des surfaces courbes du demi-solide et du double onglet seront évidemment tous deux sur le plan du triligne, et également éloignés de la base OA.

Les distances de ces centres de gravité à l'axe OB seront

entre elles dans le rapport

ne

puisque les sections faites par les mêmes plans parallèles au plan de base auront leurs centres de gravité à des distances de l'axe OB respectivement égales à

20a

et oa.

Τ

Ici finit la lettre à M. de Carcavi. On voit que Pascal va ramener la théorie des figures de révolution engendrées par l'aire d'un triligne ou son contour à la théorie des volumes des doubles onglets ou de leurs surfaces courbes.

Traité des trilignes rectangles et de leurs onglets.

Propriété fondamentale. - Soit toujours (fig. 10) OAB un triligne rectangle, dont OB sera l'axe et OA la base; supposons comme précédemment l'axe et la base divisés en parties toutes égales; imaginons les ordonnées à l'axe et à la base menées par le s points de division; par les points où les ordonnées à la base coupent la courbe, remenons des perpendiculaires à l'axe, qui s'appel leront les contre-ordonnées à l'axe; concevons encore, de l'autre côté du triligne, par rapport à l'axe, une figure quelconque BKO, comprise entre les parallèles AO et BK, figure qui s'appellera l'adjointe du triligne; enfin prolongeons jusqu'à la limite courbe de cette figure les ordonnées et les contre-ordonnées à l'axe: « La somme des rectangles faits de chaque ordonnée à l'axe du triligne et de l'ordonnée de la figure adjointe, située sur la même droite, sera égale à la somme des segments interceptés dans la figure adjointe, depuis chaque contre-ordonnée prolongée, jusqu'à l'extrémité O de la figure adjointe.

C'est-à-dire, si nous appelons x, une ordonnée quelconque à l'axe et x1, l'ordonnée à l'axe de la figure adjointe, située sur la même droite; x, une contre-ordonnée du triligne et xí, la contre-ordonnée de la figure adjointe, située sur la même droite; enfin h l'une des divisions de l'axe ou de la base, et k, la distance qui sépare les deux contre-ordonnées x et x+1; on aura,

en désignant par n et n' les nombres de divisions de l'axe et de la base:

Σxp x1p='x'q kq +1x'q kq +... +x'1 k1.

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Pour démontrer cette proposition, Pascal suppose la figure adjointe, KBO, relevée dans le plan mené par OB perpendiculairement au plan du triligne, et il imagine le solide compris entre la face KBO relevée ainsi, le triligne, le cylindre élevé sur l'arc AB, perpendiculairement au plan du triligne, et enfin le cylindre qu'engendrerait la ligne OA en glissant parallèlement à elle-même sur OK relevée.

Pascal dit que ce solide est le produit du triligne par la figure adjointe. C'est une locution vicieuse empruntée à Grégoire de Saint-Vincent; le théorème n'en est pas moins vrai. En effet