courbe quelconque rapportée aux deux axes rectangulaires Ox, Oy: la figure OAB forme ce que Pascal appelle un triligne rectangle.

Supposons OB divisé en une infinité de parties égales, dont nous appellerons l'une h, menons les abscisses de la courbe, par les points de division, appelons ces abscisses x1, x2, ..., x, désiFig. 8.

gnant la première à partir de OA; l'aire du triligne sera représentée par

S1 = h(x1 + x2 + ...);

cette aire diminuée de l'espace compris entre OA et la première abscisse x1 sera

la même aire diminuée de l'espace compris entre OA et l'abscisse x2 sera

etc.

S1 = h(x3 + x + . . .);

Si l'on empile toutes ces aires en mettant entre leurs plans consécutifs la même distance h et plaçant chacune d'elles en retrait à partir de OA, de façon qu'elle se projette sur le plan du triligne, suivant son égale, elles formeront les sections détermi

nées par des plans parallèles à celui du triligne, menés aux hauteurs h, 2 h, 3 h, ..., dans le tronc de cylindre droit élevé sur le triligne, que formerait le plan mené par OA sous l'angle de 45° avec celui du triligne.

S1h, S2h, S,h,... seront donc les volumes des segments interceptés dans cet onglet entre les plans consécutifs considérés. Le volume de cet onglet sera donc

h (S1+S2+S3+...)

ou, si l'on remet à la place de S1, S2, S3 leurs valeurs,

h2 (x1+2x2 + 3x3 + . . .),

c'est-à-dire le produit de la somme triangulaire des abscisses par le quarré de l'intervalle laissé entre elles.

Si l'on voulait représenter la somme

h2 (x1 + 2 x2 + 3 x3 + ...)

au moyen des notations modernes, on l'écrirait d'abord sous la forme

h(hx1+2hx2 + 3 hx3 + ...)

et remarquant que h, 2h, 3h, ... sont précisément les ordonnées qui correspondent aux abscisses x1, x2, ..., on la changerait en

enfin, en remplaçant h par dy, on obtiendrait

fxy dy

qui représente bien en effet le volume de l'onglet en question,

considéré comme décomposé en segments par des plans parallèles à celui qui serait mené par O A perpendiculairement au plan du triligne.

On peut encore noter cette intégrale autrement : l'une des sommes S est une intégrale de la forme

fxdy,

dans laquelle la limite supérieure est fixe, Y, par exemple, et la limite inférieure variable, y, si l'on veut. C'est donc une fonction de y, puisque Y est une constante. Supposons que cette fonction ait été obtenue et représentons-la par f(y), de sorte que l'on ait trouvé

et elle devra être prise entre les limites yo et Y, si y, désigne l'y à partir duquel doit être prise la somme triangulaire.

Quant à la somme pyramidale, qui est la somme des sommes triangulaires, elle n'est autre chose, pourvu qu'on n'omette pas le facteur h, que la somme des volumes placés dans le même tronc de cylindre au-dessus des plans menés aux distances h, 2 h, 3h,... du plan du triligne. C'est une somme d'onglets. Si on la double et qu'on la multiplie encore par h, on aura l'expression h3 (12x1 + 2° X2 + 3a X3 + . . . ),

qui, dit Pascal, représente un plan-plan.

Si l'on veut noter cette somme sous forme d'intégrale, il n'y a

qu'à faire passer h2 dans la parenthèse, ce qui donne

Cette intégrale représentera le double de la somme pyramidale. On peut aussi noter cette somme autrement : si l'on suppose qu'on ait obtenu l'intégrale

dont il vient d'être parlé, et qui représente la somme triangulaire à partir de laquelle se forme la somme pyramidale, et, si l'on a trouvé

S*f\r)dy= F(yo),

Fy) désignera une quelconque des sommes triangulaires qui entrent dans la somme pyramidale; cette somme pyramidale sera donc représentée par

SF (r)dy.

Il est important d'observer que Pascal n'introduit jamais la division h, qui doit finalement disparaître dans les rapports. C'est pourquoi il dit :

«La somme simple des abscisses fait un plan, leur somme triangulaire forme un solide qui est composé d'autant de plans

qu'il y a de divisions dans l'axe (OB) et leur somme pyramidale fait un plan-plan composé d'autant de solides qu'il y a de portions dans l'axe ; et ainsi autant qu'il y aura de divisions, il y aura aussi de solides, lesquels étant multipliés chacun par une des petites divisions de l'axe, formeront autant de petits plansplans de même hauteur, qui tous ensemble font le plan-plan dont il s'agit et l'on ne doit pas être blessé de cette quatrième dimension, puisque, comme je l'ai dit ailleurs, en prenant des plans au lieu des solides, ou même de simples droites, qui soient entre elles comme les sommes triangulaires partielles, qui font toutes ensemble la somme pyramidale, la somme de ces droites fera un plan qui tiendra lieu de ce plan-plan. »

Nous ne sommes plus habitués à entendre des choses aussi compliquées. C'est pourquoi je pourrais dire à peu près comme Képler : « Prenez donc pitié de moi qui les ai toutes lues dans l'espoir de vous les rendre intelligibles. >>

La lettre à M. de Carcavi continue par la définition des onglets et doubles onglets, dont nous venons de donner, par anticipation, un avant-goût. L'onglet simple est le tronc de cylindre que nous avons défini.

« Soit un triligne rectangle AOB (fig. 8) dont celle qu'on voudra de OA ou OB,OB par exemple, sera l'axe et l'autre la base. Soient divisées en un nombre indéfini de parties égales OA, OB et AB et que les parties de OA soient égales à celles de OB et aussi à celles de AB, car il ne faut pas craindre l'incommensurabilité, puisqu'en ôtant d'une de deux grandeurs incommensurables une quantité moindre qu'aucune donnée, on les rend commensurables; soient maintenant menées, des points de division