somme d'autant de termes égaux au dernier de la série; c'est-à dire où la question serait de trouver la limite du rapport

p

(n + 1)n?

Il y arrive aisément par la combinaison des principes précédents et forme la table à double entrée des valeurs du rapport, en portant sur l'un des côtés les degrés des puissances et sur l'autre les indices des racines.

Enfin, après avoir (proposition LXIV) attaché à la série des pièmes puissances des racines gièmes, l'indice P, il arrive à la for

mule générale : « Si intelligatur series infinita quantitatum, a puncto seu o inchoatarum, et continue crescentium pro ratione cujuscumque potestatis, sive simplicis, sive ex simplicibus compositæ ; erit totius ratio, ad seriem totidem maximæ æqualium, ea quæ est unitatis ad indicem istius potestatis unitate auctum. » C'est-à-dire si l'on considère la somme, prolongée indéfiniment, des puissances simples, ou composées des simples, des nombres entiers à partir de zéro, la raison de cette somme à la somme d'autant de termes égaux au dernier de la série sera celle de l'unité à l'indice de la série augmenté de un.

Il est curieux de remarquer qu'il va même jusqu'à supposer l'indice irrationnel : (( Sin index supponatur irrationalis, puta√3; erit ratio, ut 1 ad 1 +√3, etc., » c'est-à-dire : si l'indice est supposé irrationnel, par exemple √3, la raison sera celle de 1 à 1 +√√3, etc.

Tout cela est assurément très beau.

Mais Wallis va encore plus loin : l'heureuse idée lui vient de prolonger la série des exposants au-dessous de zéro et de considérer les sommes, prolongées indéfiniment, des puissances négatives, entières ou fractionnaires des nombres entiers, pour arriver à quarrer les courbes

mais là il est un peu moins heureux. Il applique encore la règle générale, énoncée dans ce qui précède; mais il ne peut interpréter les résultats auxquels il arrive, ce qui ne doit pas surprendre, sa méthode l'obligeant à faire commencer l'aire à l'axe des y, de façon à ne pouvoir écarter la difficulté principale.

Par exemple, la formule générale de quadrature, appliquée à l'hyperbole du second degré,

Wallis en conclut très bien que l'aire comprise entre la courbe et son asymptote est infinie, mais il ne peut aller plus loin.

Quant aux cas où l'exposant de x au dénominateur est supé

Il fait à ce sujet un

et Wallis ne sut pas se tirer de ce signe singulier raisonnement : si le dénominateur, dit-il, n'était que zéro, l'aire serait déjà infinie, mais il est moindre que zéro, l'aire est donc plus qu'infinie: « cum indices serierum secundanorum, tertianorum, quartanorum, etc., sint 2, 3, 4, etc. (unitate majores), indices serierum illis reciprocarum erunt -2, -3, 4, etc., qui, quamvis unitate augeantur, manebunt tamen negativi; et, propterea ratio quam habet ad indices illos sic auctos, major erit quam infinita, sive 1 ad o; quia nempe rationum consequentes sunt minores quam 0.

On est naturellement porté, à propos de cet étonnant travail de Wallis, à remarquer la singulière tendance de l'esprit humain à prolonger l'usage des méthodes antérieurement usitées, je ne dirai pas autant que possible, ce qui serait encore rationnel, mais au delà même du point où leur domaine s'arrête. Il semble qu'on ne puisse se décider à chercher de nouvelles méthodes que sous le fouet de l'absurde.

Il eût assurément été plus facile de rechercher les incréments des fonctions élémentaires, pour remonter aux sommes correspondantes, que de sortir, comme Wallis l'a si heureusement fait souvent, des difficultés où il se lançait.

La manière dont Wallis parvint à sa formule du rapport de la Histoire des Sciences, IV.

M. MARIE.

I I

circonférence au diamètre est tout à fait extraordinaire. Il remarque que les aires comprises entre l'axe des y, la parallèle à cet axe menée à la distance x = 1, l'axe des x et les courbes représentées par les équations

sont exprimées, en fonction du rectangle circonscrit, ayant pour côtés x = 1 et y=1, par les fractions

serait moyenne proportionnelle entre les deux premiers termes de la suite

il se propose le problème de l'interpolation d'un terme entre I et 233 sous la condition de satisfaire à la loi de formation de

loi non formulée du reste et définie seulement par son origine concrete. Wallis y parvient, mais par une analyse trop compli

quée pour trouver place ici. Il trouve que est la limite du

rapport

2.2.4.4.6.6.8.8...

1.3.3.5.5.7.7.9...

Il n'était pas très satisfait de ce résultat, quoique entièrement neuf, et il excita lord Brouncker, son ami, à chercher encore mieux. C'est sous l'inspiration de Wallis que ce dernier savant trouva pour l'expression

qui donna lieu à la naissance de la théorie des fractions cor.tinues.

Nous venons de dire que Wallis avait cherché à déterminer l'aire du cercle par l'interpolation d'un terme entre i et dans la 3

2

nous devons ajouter que c'est lui qui, le premier, considéra le problème de l'interpolation et même en imagina le nom. Il en donna la solution générale qui consiste, lorsque les valeurs données ne sont liées par aucune loi connue, à faire passer par les points dont les coordonnées sont les valeurs données de la variable et de sa fonction, la parabole du degré marqué par le nombre de ces points moins un.

On doit encore à Wallis l'idée d'une méthode pour la rectifi