montrerai, qu'un savant analyste peut trouver en très peu de temps ce que je demande, et je puis protester que je n'ai pas employé plus d'un demiquart d'heure à chercher cette méthode, à la trouver, et à me convaincre qu'elle s'étend à toutes les espèces d'asymétrie.

PROPOSITION DÉMONTRÉE PAR M. DESCARTES.

Une section conique quelconque étant donnée, et un point situé hors de son plan à volonté, trouver un cercle qui soit la base du cône que décrit une ligne droite menée du point donné comme sommet autour de la section conique donnée; car on ne peut douter qu'une surface ainsi décrite ne soit conique, et il est très aisé de le démontrer quand on a trouvé le cercle qui fait sa base.

SOLUTION.

Je divise cette proposition en trois cas. Le premier est lorsque la section donnée est une ellipse, et que le point donné tombe perpendiculairement sur son centre. Le second cas est lorsque la perpendiculaire tirée du point donné tombe quelque autre part sur l'axe de l'ellipse donnée, ou bien en quelque endroit de l'axe d'une hyperbole ou d'une parabole donnée. Le troisième cas enfin est lorsque cette perpendiculaire tombe hors de l'axe.

PREMIER CAS.

Étant donné l'ellipse BOL', et le point A étant élevé perpendiculairement sur le centre D de la hauteur de la ligne AD, je tire au point A, sommet du cône, et des points B et L, extrémités du petit diamètre de l'ellipse donnée, les lignes AB et AL. Je cherche ensuite une ligne P qui soit à AB comme DO est à DÓ † DB, une autre ligne Q qui soit à la même AB comme DO est à DO-DB, et une autre ligne R qui soit moyenne proportionnelle entre P et Q. Enfin du centre A je décris un cercle dont le rayon I soit égal à la ligne R; ce cercle coupe le diamètre BL prolongé en K, de façon que, joignant la ligne AK, si du point B on lui tire la parallèle BC, BC sera le diamètre du cercle demandé, comme il est aisé de le démontrer par l'analyse. On peut étendre cette solution aux deux cas suivants; car il y sera plus facile de trouver une ellipse sur le centre de laquelle tombe une perpendiculaire tirée du sommet du cône, que de trouver le cercle qui est la base de ce cône.

SECOND CAS.

Étant donnée l'ellipse BFC, et le point A étant élevé perpendiculairement sur E, point de l'axe BC de la hauteur de la ligne AE, je tire

les lignes BA et CA, et prenant sur la plus longue CA sa partie AL qui soit égale à la plus courte BA, j'ai la ligne BL pour un des diamètres de l'ellipse sur le centre D, de laquelle le point A tombe perpendiculairement; et une autre ligne menée par le point D perpendiculaire à AD, et parallèle au plan de la section BFC terminée des deux côtés dans la superficie conique, est un autre diamètre de la même ellipse conjugué avec la première. Or quand les diamètres conjugués d'une ellipse sont donnés, l'ellipse elle-même est donnée; et étant donnée une ellipse sur le centre de laquelle le sommet du cône tombe perpendiculairement, on trouve de la manière expliquée ci-dessus un cercle qui soit la base de ce cône.

De même étant donnée la parabole BF', et le point A étant élevé perpendiculairement sur le point E de l'axe BC de la hauteur de la ligne AE, je tire la ligne AB, et la ligne AL égale à AB et parallèle à BC, et BL est un des diamètres de l'ellipse sur le centre D de laquelle le point A tombe perpendiculairement. On trouvera par la méthode ci-dessus son autre diamètre conjugué.

De même étant donnée l'hyperbole BF, et son opposée dont le sommet est C étant aussi le point A élevé perpendiculairement sur le point E de l'axe BC de la hauteur de la ligne AE, je

tire les lignes BA et CA, et prenant sur la plus longue CA prolongée au-delà du point A une portion AL égale à la plus courte BA, j'ai la ligne BL pour un des diamètres de l'ellipse, etc., comme ci-dessus.

De même étant donnée l'hyperbole BF et son opposée, dont C est le sommet, et étant donné le point A élevé perpendiculairement sur le point E de l'axe second HE de la hauteur de la ligne AE, je prends sur l'axe HE la ligne HG égale à HA, et tirant les lignes BG et CG prolongées en L, de sorte que GL égale BG, BL est un des diamètres conjugués de l'ellipse demandée sur le centre D de laquelle le point A tombe perpendiculairement et une autre ligne menée par le centre D perpendiculaire à CD ou AD (car les lettres A et G ne représentent qu'un seul et même point qu'on doit s'imaginer être élevé en l'air au-dessus du plan BCE) et parallèle au plan de la section BFC, laquelle est terminée des deux côtés dans la superficie conique, est l'autre diamètre conjugué, comme on a dit ci-dessus '.

Tout cela me paroît si clair qu'il n'a pas besoin de démonstration.

TROISIÈME CAS.

Etant donnée la parabole BGK', dont G est le sommet, et GY partie de l'axe égal à la moitié

Figure 11. Figure 12.

du côté droit, étant aussi donné le point A hors le plan de la section, d'où tombe hors de l'axe la perpendiculaire AE sur le point E du plan de la

section.

Sont aussi données les lignes AG que j'appelle a, la perpendiculaire EF qui tombe du point E sur l'axe que j'appelle r, par lesquelles je prétends trouver le point B auquel la parabole est touchée par l'ellipse sur le centre de laquelle tombe une perpendiculaire menée du point A; c'est-à-dire je cherche la ligne BN perpendiculaire à l'axe GY, laquelle j'appelle x, et je découvre par l'analyse

laquelle équation me donne facilement le point B suivant ma géométrie, car si a et c sont égaux, il faut prendre seulement sur l'axe YR une ligne qui soit égale à la moitié de FY donnée, et la perpendiculaire RS qui soit la moitié de FE donnée, et le cercle décrit du centre S par le sommet de la section G coupera la parabole au point B demandé; mais si a et c ne sont pas égaux, cette construction sera un peu plus longue, mais non plus difficile. Or, le point B étant trouvé, je tire la droite AB, et AL également à AB et parallèle à l'axe GY, et BL est un des diamètres de l'ellipse demandée et une ligne menée par le centre de cette