Page images
PDF
EPUB

droiles substituées aux lignes primitives, une certaine dépendance ayant pour résultat la conservation des vitesses virtuelles. Il est d'ailleurs indifférent que la double condition subie par chaque point résulte de la liaison donnée ou de telle autre acluellement équivalente; dès qu'elle subsiste, rien ne change dans l'effet instantané des forces que l'on considère.

Ces préliminaires établis, si l'on prend dans un système à liaisons complètes deux points quelconques supposés non fixes, et que pour réaliser l'effet de la liaison existant entre ces points, on, les assujettisse à tourner solidairement autour d'un même axe en conservant leurs vitesses virtuelles, il est clair que deux forces, dont chacune agirait en l'un des points dont il s'agit, peuvent se faire équilibre, et l'on démontre aisément que l'équilibre a lieu lorsque les moments virtuels de ces forces sont égaux et de signe contraire.

De là résultent les deux principes suivants :

Toute force agissant sur un système d liaisons. *complètes peut être déplacée et modifiée d'une in

finité de manières. L'effet ne change pas lorsque le moment virtuel conserve son signe el sa valeur.

Dans tout système à liaisons complètes et sollicité par les forces P, Q, R, etc., dont les moments

virtuels, pris chacun avec le signe qui lui convient, sont respectivement Pp, Qq, Rr, etc., les forces données peuvent être remplacées par une résultante unique, ayant même direction que la vitesse rirtuelle du point on la suppose appliquée; si l'on prend cette vitesse pour unité des vitesses virtuelles, la résultante est représentée en grandeur par la valeur absolue de l'expression Pp + Qq + Rr, elc. Elle agit d'ailleurs dans le sens du déplacement que les liaisons permettent ou en sens contraire, selon que la somme des moments virtuels correspondants esl posilire ou négative.

S'agit-il maintenant d'un système quelconque, sollicité comme on voudra, nous observerons que deux cas seulement peuvent se présenter.

Les forces données se font ou ne se font pas équilibre. Dans le premier cas, l'équilibre existant n'est pas troublé lorsque, par l'addition de liaisons nouvelles, on ne laisse subsister que l'un quelconque des déplacements compatibles avec les liaisons primitives.

Dans le second cas, il y a déplacement effectif. Néanmoins ce déplacement se produit de même · lorsque, par des liaisons qui n'y font point ohstacle, on rend tout autre déplacement impossible.

Donc, quel que soit l'effet actuel et instantané des forces qui sollicitent un système quelconque, on peut toujours, sans changer cet effet, transformer le système donné en un système à liaisons complètes.

Cette remarque permet d'établir, comme conséquence évidente des propositions qui précèdent, le théorème suivant, connu sous le nom de principe des vitesses virtuelles :

Dans tout système de corps liés entre eux d'une manière quelconque et sollicités par autant de

forces qu'on voudra, il est à la fois nécessaire et . suffisant pour l'équilibre que la somme des moments virtuels ne soit posilive pour aucun des placements compatibles avec les liaisons.

En effet, supposons d'abord qu'il y ait équilibre. · En ce cas, l'on ne peut aduettre que la somme des moments virtuels soit positive pour l'un quelconque des déplacements que les liaisons permettent, car dans cette hypothèse, si l'on voulait que ce déplacement commençat, il suffirait de rendre tout autre déplacement impossible.

Supposons ensuite que la somme des moments virtuels ne soit positive pour aucun des déplacements compatibles avec les liaisons.

En ce cas, il est manifeste que nul déplacement ne peut commencer sous l'action des forces qui sollicitent le système. Donc l'équilibre existe nécessairement.

En général, tout déplacement possible dans un

sens, el pris à son origine, présente en sens inverse la même possibilité. Pour chacun de ces sens les moments virtuels ont même valeur absolue, mais ils changent de signe. Alors donc, l'équilibre exige que leur somme soit nulle.

FIN DU SUPPLÉMENT.

TABLE DES MATIÈRES

DU DEUXIÈME VOLUME

Partie II. — Physique. Mathématiques.

(Suite.)

Pages,
Chapitre II. - Lumière.
CHAPITRE III. — Mouvement.
CHAPITRE IV. — Suite du même sujei. -- Notions sur la puissance et

sur la force, considérées dans les effets qui leur servent de

mesure; par M. Lamarle.
CHAPITRE V. — Géométrie analytique. – Calcul différentiel.

113

93

Partie III. — Considérations générales philo-

sophiques, physiques, mathématiques.

CHAPITRE I. — Optimisme.
Chapitre II. - Partir de soi, restant en soi, et partir de Dieu.

173
239

« PreviousContinue »