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l'hélice osculatrice s'applique à la détermination de l'effet que produit la courbure dans le mouvement d'un point matériel. Il semble que, toutes les fois qu'il s'agit d'un mouvement curviligne, il y a lieu de recourir à la même considération. Cependant il est permis de s'en dispenser en certains cas et de suivre une marche plus simple en substituant la tangente à la courbe; c'est ainsi, par exemple, que l'on procède constamment dans les applications du principe des vitesses virtuelles. Cette circonstance exige quelques détails, pour être bien comprise.

Lorsque la continuité s'établit, c'est toujours suivant une direction déterminée: Si cette direction persistait, la ligne engendrée serait droite. En général, la direction ne persiste pas, et de là résulte la courbure. La courbure ne détruit point la direction, elle ne fait que la modifier. C'est dans la suite infinie des états non distincts que la direction et la courbure prennent toutes deux naissance. Néanmoins, il n'y a pas simultanéité, mais succession. L'ensemble de ces états présente donc en réalité diverses périodes (1) dont on peut concevoir abs

(1) Soit une fonction y = f(x) et ses dérivées successives f'(x), ƒ" (x), f(x), etc.

Les états non distincts correspondants à la valeur particulière (x = a), constituent une suite infinie de périodes, dont on peut considérer isolé-、

traitement la séparation. L'établissement de la direction correspond à la première période, puis vient après la période de courbure.

Cette distinction admise, il est clair que s'il s'agit d'effets dépendant de la première période, l'on peut considérer exclusivement la direction et par conséquent remplacer la courbe par la tangente. Tels sont les cas d'application du principe des vi

ment un nombre quelconque, et déterminer, pour ce nombre, la loi régulatrice.

S'agit-il de la première période ? la loi qui la régit a pour expression finie :

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S'agit-il des deux premières périodes, la loi devient :

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Pour les trois premières périodes, on aurait de même :

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Enfin, s'il s'agissait de l'ensemble des n premières périodes, il viendrait ;

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Il est d'ailleurs bien entendu que les constantes, introduites par l'intégration, donneraient pour équation résultante:

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Cela posé, l'on voit aisément que ce qu'on nomme contact de l'ordre n

tesses virtuelles, l'objet qu'on se propose étant d'exprimer la condition qui doit être remplie pour qu'il y ait équilibre, c'est-à-dire pour qu'aucun déplacement ne puisse commencer sous l'action des forces sollicitantes.

Les principes que nous venons d'exposer nous paraissent devoir être considérés comme formant

entre deux courbes planes, c'est la coincidence des états non distincts correspondants aux n premières périodes. On reconnaît en même temps que cette coïncidence ne peut avoir lieu, sans que les courbes dont il s'agit soient plus rapprochées entre elles, qu'elles ne pourraient l'être de toute autre courbe qui ne satisferait pas à la même condition.

Ces conséquences s'établissent avec une égale facilité, lorsqu'on reste au point de vue des capacités d'accroissement. En effet, il s'agit alors de remarquer,

1° Que si l'on prend pour unité la capacité d'accroissement de la

dy
dx

variable indépendante x, est la capacité de la fonction y.

2o Que les dérivées successives, considérées comme fonctions, ont pour

d2 y dx2

d3 y

jusqu'à la dérivée

capacités respectives, la première dn -1y dont la capacité d'accroissement devient " dxn 1

la deuxième

et ainsi de suite

dx3

dn y dan

Reprenons l'expression finie de la loi qui régit les états non distincts, et concevons qu'au lieu d'être restreinte aux n premières périodes, elle soit étendue à leur suite infinie. En ce cas cette expression doit s'identifier avec l'équation primitive y = f(x); on a donc nécessairement :

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la base essentielle de l'analyse infinitésimale. Des développements plus étendus seraient peut-être nécessaires pour montrer avec quelle facilité la méthode précédente s'applique en général à toutes les questions du calcul différentiel, et comment elle peut suppléer l'emploi des infiniment petits. Ce sera, s'il y a lieu, l'objet d'un nouveau travail que nous publierons ultérieurement. Ici, le cadre qui nous est tracé nous force à nous restreindre; néanmoins nous choisirons un dernier exemple, non comme application de calcul, mais comme déduction rationnelle, fondée sur des considéra– tions du même ordre que celles dont nous avons fait précédemment usage, et nous terminerons cette note par une démonstration synthétique du principe des vitesses virtuelles.

S IV.

Principe des vitesses virtuelles.

Considérons un système de points liés entre eux comme on voudra. Si l'on imagine que l'un quelconque des déplacements compatibles avec les liaisons doive ou puisse se réaliser sous l'action

des forces qui sollicitent le système, ce déplacement ne pourra commencer pour chaque point qu'avec une certaine vitesse déterminée en sens absolu et en grandeur relative. Chacune de ces vitesses prend, par rapport au déplacement que l'on considère, le nom de vilesse virtuelle; on l'estime suivant la droite qui en fixe le sens, et l'on nomme moment virtuel le produit d'une force par la projection, sur cette force, de la vitesse virtuelle de son point d'application.

Ainsi, à chacun des déplacements supposés réalisables sous l'action des forces données, correspond pour chaque point une vitesse virtuelle, et pour chaque force qui s'y trouve appliquée un moment virtuel. Ajoutons que ce moment est positif ou négatif, selon que la vitesse estimée par projection sur la direction de la force est de même sens qu'elle ou de sens contraire.

Lorsque dans un système il n'y a qu'un seul déplacement compatible avec les liaisons, le système est dit à liaisons complètes. En ce cas, chaque point doit être considéré comme assujetti à se mouvoir suivant une ligne déterminée, et la condition qu'il subit par le fait actuel de la liaison reste la même lorsque l'on substitue à cette ligne l'hélice osculatrice, ou plus simplement la tangente. Toutefois, et s'il s'agit de plusieurs points, il faut en outre qu'il existe entre toutes les hélices ou les

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