Elle donne en outre le signe de dy et résout la question. En effet, le facteur de se trouvant élevé à une puissance paire, son signe cesse d'influer sur celui de dy, et la valeur distincte y est maxima ou minima, suivant que la dérivée du second ordre f'(x) est négative ou positive.

Si la valeur qui annule f'(x), annulait en même temps f(x), on devrait remplacer la valeur isolée f'(x) = o par l'expression symbolique f”(x) dx; il viendrait alors

d(y) = f (x) dx3,

et pour que la fonction eût une valeur maxima ou minima, il faudrait que la valeur attribuée à x satisfît à la condition

f(x)= 0.

En ce cas, le signe de dy serait celui de la dérivée du quatrième ordre et ainsi de suite, le mode de démonstration restant toujours le même.

Nous avons vu comment il est toujours possible de mettre en évidence la loi exprimée par l'équation différentielle. Appliquons ces considérations à quelques cas particuliers.

Soit d'abord une courbe plane

représente une ligne dans laquelle la continuité détermine une direction constante; c'est une droite. Pour un point quelconque x', y' de la courbe donnée, la même circonstance subsiste initialement. La continuité s'établit donc à l'origine, suivant la direction fournie par la condition

La droite menée suivant cette direction et passant par le point x', y', prend le nom de tangente.

Dans une courbe, l'élément caractéristique est la courbure. La courbure résulte de ce que la direction de la tangente varie continuement. Ce qui la détermine, c'est le rapport existant entre le mouvement angulaire de la tangente et le mouvement relatif du point générateur. Pour se former une idée précise de ce mode de génération, il faut concevoir que le point générateur se trouvant à la fois sur la tangente et sur la courbe, se meut sur la tangente, tandis que la tangente s'infléchit par un mouvement de rotation dont ce point reste toujours le

centre.

Supposons constante la loi du double mouvement qui constitue la courbure, et désignons par l'angle variable que la tangente fait avec l'axe des abcisses; soit d'ailleurs As l'accroissement arcuel

W

correspondant à l'accroissement angulaire A, on

aura

As

=cons'.,

Δω

et comme dans cette hypothèse la courbure est évidemment uniforme, il est clair que si l'on désigne par le rayon du cercle déterminé par la condition précédente, il viendra

et quelle que soit la circonstance initiale ainsi exprimée, nous savons qu'elle reste la même lors

que attribuant à (x) la valeur qui s'applique au point que l'on considère, on regarde cette valeur comme constante. Or, en ce cas

c'est-à-dire que la courbure devient uniforme et qu'elle a pour rayon '

donc telle est aussi la courbure que la courbe donnée affecte au point dont il s'agit. Le cercle qui vient toucher la courbe en ce point, et dont le rayon a la valeur indiquée ci-dessus, prend le nom de cercle osculateur. On dit aussi de ces deux lignes qu'elles ont entre elles un contact du second ordre. Ces divers énoncés n'ont qu'un seul et même sens. Ils expriment que pour le point que l'on considère, il y a dans les deux courbes même particularisation de la loi générale qui régit la courbure.

Lorsque dans un cercle le rayon tourne autour du centre, l'extrémité du rayon décrit ou engendre la circonférence. La courbure, en chacun des points de cette ligne, peut donc être regardée comme résultant d'une liaison existant entre le centre et le point que l'on considère. Mais, pour un point quelconque d'une courbe plane, il existe toujours un

cercle osculateur, et en ce point les courbures du cercle et de la courbe sont identiques. Si donc on imagine que le point de la courbe soit lié au centre du cercle osculateur, cette liaison déterminera sans la modifier la circonstance initiale qui constitue la courbure en ce point.

Il suit de là que, lorsqu'un point est assujetti par des liaisons quelconques à se mouvoir suivant une courbe plane, l'effet de ces liaisons, dans chacune des positions successivement occupées par le point, est nécessairement le mènie que celui qui résulterait de l'existence instantanée d'un lien supposé mobile autour du centre du cercle osculateur.

Dans la génération de la courbe dite à double courbure, le point générateur se meut sur la tangente, tandis que la tangente s'infléchit autour de ce point dans le plan osculateur, et que le plan osculateur tourne lui-même autour de la tangente. Du mouvement de la tangente autour du point générateur résulte une première courbure indépendante de la rotation du plan osculateur. De la rotation de ce plan autour de la tangente naît

une deuxième courbure. Cette deuxième courbure peut, comme la première, demeurer uniforme, ou bien varier d'une position à l'autre. Dans tous les cas, si l'on représente par A l'angle des plans osculateurs correspondants respectivement aux deux tangentes dont l'angle est A, il est évident