de la variable; le même caractère appartient donc

dy

nécessairement à l'expression (1). dx

La remarque précédente s'applique aux expressions fractionnaires, lorsqu'elles se présentent

sous la forme, chacun de leurs deux termes s'annulant à la fois pour une même valeur (x= a) donnée à la variable. En ce cas le symbole n'imet l'on peut aisément

plique pas l'indétermination, et l'on

s'en convaincre.

Pour

que

la continuité cesse, il faut une limite

dy (1) Le symbole exprime le rapport des capacités d'accroissement dx inhérentes aux variables y et x. Il est évident que ce rapport est déterminé par cela seul qu'il existe entre les variables une loi de dépendance. On peut, sans rien changer à cette loi, faire dépendre x et y d'une autre variable choisie arbitrairement. En ce cas, et sans qu'il soit besoin de dire quelle est cette variable, ni comment les autres en sont rendues dépendantes, chacun des symboles dy et dx doit être considéré comme prenant

prime la capacité relative de la fonction correspondante, la capacité d'accroissement de la variable arbitraire étant prise pour unité. Alors les symboles dy et de deviennent de véritables fonctions, et, si l'on suppose constante la capacité d'accroissement de la variable arbitraire, ce qui est toujours permis, puisque par hypothèse la variable dont il s'agit est indépendante, ces fonctions ont pour expression de leurs capacités d'accroissement les symboles d2y, d2x. Tel est le sens que présentent les différentielles successives, quel que soit l'ordre auquel elles appartiennent.

déterminée à partir de laquelle elle soit interrompue. Cette limite existe-t-elle, il est évident qu'elle peut toujours être atteinte avant que la discontinuité se soit révélée."

Par hypothèse, il s'agit d'une fonction continue, et dans l'intervalle que l'on considère, nulle limite n'est assignable à la continuité, à moins qu'il n'y en ait une répondant à la valeur particulière x = a. Or, la continuité subsiste alors même qu'on atteint la limite où elle va cesser. On ne peut donc admettre que pour x=a l'expression fractionnaire reste sans valeur ou sans détermination. En effet, supposer qu'il en fût ainsi, ce serait franchir la limite où la continuité s'arrête, et rendre impossible toutes valeurs successives de la fonction, celles-ci ne pouvant exister sans qu'un lien non interrompu les rattache à une valeur déterminée par laquelle elles commencent ou finissent.

et, quoique l'expression (a) se présente sous la

forme,

nous venons de démontrer qu'elle a né

cessairement une valeur déterminée. Proposons

nous de dégager cette valeur du symbole qui l'enveloppe et qui la dissimule.

C'est la continuité des fonctions f(x) et F(x) qui implique relativement à (a) l'existence d'une valeur déterminée. En conséquence, si l'on veut obtenir cette valeur, il faut, et cela doit nécessairement suffire, exprimer qu'il y a continuité, c'est-àdire substituer à chacune des valeurs isolées et distinctes f(a), F(a), l'expression universelle de la suite infinie des valeurs qu'elles représentent. Or, ces expressions sont respectivement f'(a) da, F'(a) da; il vient donc

En général, il est indifférent d'attribuer aux quantités que l'on considère leurs valeurs distinctes ou de remplacer ces valeurs par l'expression symbolique de toutes celles qui s'y confondent à raison de la continuité. Ainsi que l'on écrive

ou bien:

f(x) F(x)'

f(x)+d. f(x)
F(x)+d. F(x)'

le rapport exprimé reste numériquement le même. Il est d'ailleurs évident que si la valeur assignée à la variable n'annule pas à la fois les deux

fonctions, la présence des différentielles ne peut influer sur les résultats, et dès lors il importe peu d'exprimer ou non qu'il y a continuité. Lorsqu'au contraire les deux fonctions s'annulent, il est indispensable d'avoir égard à ce qu'elles sont continues. En effet, leur rapport n'a de valeur déterminée qu'en vertu de cette circonstance essentielle. Si l'on n'en tient pas compte, il n'y a plus qu'indétermination. *

Proposons-nous encore la question des maxima et minima.

Lorsque dans un intervalle quelconque, correspondant à deux valeurs distinctes de la variable, la fonction supposée continue, croît et décroît successivement, elle est susceptible d'une valeur dite maxima. Le contraire a lieu, c'est-à-dire que la fonction passe par une valeur dite minima, lorsqu'elle cesse de décroître pour devenir crois

sante.

Ceci posé, si l'on observe que la différentielle exprime la suite des valeurs non distinctes par la succession desquelles la continuité s'établit, il est clair qu'on peut admettre comme démontrés les deux principes suivants :

1° La fonction croît ou décroît suivant le signe qu'affecte la différentielle.

2° Pour que la valeur y soit maxima ou minima,

il faut que dy reste indépendant du double signe qui doit être attribué à dx.

En général,

dy= f'(x) dx.

Le signe de dy dépend donc de celui de dx, tant que la dérivée n'est pas nulle. Or, en cas de maxima ou de minima, il doit en être indépendant. Donc on a nécessairement pour première condi

Remarquons ici qu'à chacun des états indiqués par le symbole dy, correspond un état de la fonction. Quand la dérivée s'annule, y représente l'ensemble de toutes les valeurs non distinctes qui, dans la fonction, correspondent à la différentielle. Veuton exprimer que ce n'est plus la valeur unique autour de laquelle se groupent toutes ces valeurs, mais leur ensemble ou l'une quelconque d'entre elles que l'on considère, il faut substituer à la va. leur isolée f'(x)=o l'expression universelle f'(x) dx et écrire en conséquence :

d (y) = f(x) dx2.

Cette équation comprend implicitement la rela

tion

dy dx

=0.