Quel que soit l'état particulier dans lequel on considère une quantité continûment croissante ou décroissante, cet état est l'origine des états qui lui succèdent, et il y a continuité dans la succession. Si rapprochés que l'on prenne deux états supposés distincts, l'intervalle qui les sépare comprend un nombre illimité d'états intermédiaires. Peut-on maintenir une différence quelconque assignable entre tous ces états successifs? évidemment non, car ce serait limiter leur nombre et établir la discontinuité. Ainsi, parce qu'il y a continuité, les états intermédiaires sont en nombre infini, et, pris dans l'ordre où ils se succèdent, ils ne peuvent ètre distingués quantitativement. Il résulte de là que chacun des degrés de grandeur par lesquels passe une quantité continûment variable, peut être considéré, soit comme l'expression individuelle d'un état quelconque isolé et distinct, soit comme l'expression universelle de la suite infinie des états successifs qui se groupent autour d'un centre commun et s'y confondent en vertu de la continuité. Dans le premier cas, on reste au point de vue de l'analyse ordinaire. Dans le second, on s'élève à la conception du principe sur lequel repose le calcul infinitésimal. par hypothèse essentiellement continu. Or, pour Axo, il se réduit à f'(x); donc, si l'on repré dy sente par le rapport symboliqué l'expression dx' universelle de la suite infinie des valeurs qui se concentrent toutes dans la valeur unique et distincte fournie par la fonction dérivée, on a l'équation différentielle Le symbole dy est relatif à l'accroissement Ay; il exprime que l'on considère, non pas un état isolé, mais l'ensemble d'une suite d'états immédiatement successifs. Il en est de même de dx par rapport à l'accroissement Ax. Les deux symboles peuvent être remplacés à la fois par les différences annulées qui leur correspondent, et réciproquement. Nulle valeur numérique ne leur est d'ailleurs assignable. Présentons ces idées sous une autre forme. La notation ▲ indique que l'on considère la fonction dans deux états quelconques, et que l'on a particulièrement en vue le changement quantitatif qu'elle subit en passant du premier état au second. Le symbole général Ay est donc l'indice d'une capacité d'accroissement inhérente à la fonction y, et en même temps il est la mesure des effets finis qui résultent du développement continu de cette capacité. Lorsqu'on annule les différences Ay, Ax, elles s'évanouissent comme quantités, mais elles subsistent nécessairement comme indices des capacités qu'elles expriment. Telle est la signification des symboles différentiels dy et da substitués aux différences annulées (Ay=o, 4x=0). Ay Dans le rapport le sens symbolique se trouve Ax dominé et presque entièrement effacé par l'expression quantitative des différences finies. En annulant ces différences, on isole le rapport numérique des capacités d'accroissement et on le fait apparaître dégagé de tout voile. La propriété exprimée par l'équation différentielle subsiste en vertu de la continuité. Considé rée dans ce qu'elle a de général par rapport à tous les états de la fonction dérivée, supposée quelconque, elle ne dépend d'aucune détermination particulière. Lorsqu'on se donne la fonction dérivée et qu'on assigne une valeur à la variable, la propriété exprimée ne change point de nature, mais elle se particularise. Peu importe alors que dans la fonction dérivée les valeurs qui correspondent à des états distincts soient ou non différentes. Tout se trouve complétement déterminé par la valeur particulière attribuée à cette fonction, et quelle que soit cette valeur, il suffit de la supposer constante pour mettre en évidence la propriété dont il s'agit. Or, dans cette hypothèse, il vient particularise la valeur attribuée à la fonction dérivée, il est manifeste que, pour chaque état particulier de la fonction que l'on considère, elle détermine la circonstance initiale qui préside aux changements d'état immédiatement successifs. Ainsi l'on peut énoncer d'une manière absolue que dans toute fonction l'accroissement, pris à son origine, se produit proportionnellement à la fonction dérivée. Contentons-nous d'indiquer ici cette conséquence générale. Plus loin nous ferons ressortir l'importance de l'équation différentielle considérée comme exprimant d'une manière explicite la loi qui régit la suite infinie des états non distincts. dy avait généralement pour valeur une fonction de dx la variable. Il est aisé de voir qu'il doit en être ainsi. En effet, nulle loi ne peut régir la suite infinie des états successifs par l'intermédiaire desquels la continuité s'établit, sans qu'on en retrouve ΔΥ des traces dans le rapport fini Ay Дх où elle tend sans cesse à se transporter. Or, si petit que soit Ax, ce rapport n'est jamais indéterminé, et, sauf le cas des fonctions linéaires, il dépend toujours |